Cuaderno Interactivo

Funciones Matemáticas

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La Función Lineal

Definición

Una función lineal es una función polinómica de primer grado. Su gráfica es una **línea recta**.

La forma principal de una función lineal es la ecuación pendiente-intercepto:

$$f(x) = mx + b$$

Pendiente ($m$): Representa la inclinación de la recta. Indica cuánto cambia $y$ por cada unidad que cambia $x$.

  • Si $m > 0$, la recta es creciente.
  • Si $m < 0$, la recta es decreciente.
  • Si $m = 0$, la recta es horizontal.

Intercepto ($b$): Es el punto donde la recta corta el eje $y$. Ocurre cuando $x=0$. El punto es $(0, b)$.

Parámetros Interactivos

Mueve los deslizadores para cambiar la pendiente $m$ y el intercepto $b$.

$$f(x) = \color{red}{m}x + \color{blue}{b}$$
1.0
1.0

Gráfica y Tabla

$x$$f(x)$

Ecuaciones de la Recta

Ecuación Punto-Pendiente: (Punto $(x_1, y_1)$, pendiente $m$)

$$y - y_1 = m(x - x_1)$$

Ecuación con Dos Puntos: (Puntos $(x_1, y_1)$ y $(x_2, y_2)$)

$$y - y_1 = \left(\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\right)(x - x_1)$$

Ecuación General:

$$Ax + By + C = 0$$

Rectas Paralelas: Tienen la misma pendiente.

$$m_1 = m_2$$

Rectas Perpendiculares: Sus pendientes son recíprocas y opuestas.

$$m_1 = -\frac{1}{m_2} \quad \text{o} \quad m_1 \cdot m_2 = -1$$

Distancia de un punto $(x_0, y_0)$ a la recta $Ax+By+C=0$:

$$d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$$

La Parábola

Definición

Una función cuadrática es una función polinómica de segundo grado. Su gráfica es una **parábola**.

La forma general de una función cuadrática es:

$$f(x) = ax^2 + bx + c, \quad \text{con } a \neq 0$$

Coeficiente $a$: Define la "concavidad" de la parábola.

  • Si $a > 0$, la parábola abre hacia arriba (cóncava).
  • Si $a < 0$, la parábola abre hacia abajo (convexa).

Coeficiente $c$: Es el punto donde la parábola corta el eje $y$, es decir, el punto $(0, c)$.

Parámetros Interactivos $a, b, c$

$$f(x) = \color{red}{a}x^2 + \color{green}{b}x + \color{blue}{c}$$
1.0
2.0
-3.0

Fórmulas Clave

Vértice $(h, k)$: Es el punto mínimo o máximo.

$$h = - \frac{b}{2a} \quad \quad k = f(h)$$

Raíces (Cortes con Eje $x$): Se calculan con la fórmula cuadrática:

$$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

Gráfica Interactiva

Análisis y Tabla de Valores

Vértice $(h, k)$: (?, ?)

Raíces (Eje $x$): ?

Corte (Eje $y$): (0, ?)

$x$$f(x)$

La Circunferencia

Definición

Una circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos $(x, y)$ en un plano que equidistan de un punto fijo llamado **centro $(h, k)$**. La distancia fija se llama **radio $r$**.

Ecuación Canónica (u Ordinaria):

$$(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$$

Si el centro está en el origen $(0, 0)$, la ecuación es $x^2 + y^2 = r^2$.

Parámetros Interactivos

Mueve los deslizadores para cambiar el centro $(h, k)$ y el radio $r$.

$$ (x-\color{red}{h})^2 + (y-\color{green}{k})^2 = \color{blue}{r}^2 $$
0.0
0.0
5.0

Gráfica Interactiva

Análisis y Tabla de Puntos

Centro $(h, k)$: (0, 0)

Radio $r$: 5

Punto notable$x$$y$

Geometría Analítica

Distancia entre dos puntos

La distancia $d$ entre dos puntos $P_1(x_1, y_1)$ y $P_2(x_2, y_2)$ en el plano cartesiano se calcula usando el Teorema de Pitágoras.

Fórmula de la Distancia:

$$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$

Punto Medio de un Segmento

El punto medio $M$ de un segmento de línea con extremos $P_1(x_1, y_1)$ y $P_2(x_2, y_2)$ es el promedio de las coordenadas.

Fórmula del Punto Medio:

$$M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2} , \frac{y_1 + y_2}{2} \right)$$

Puntos Interactivos

Mueve los deslizadores para cambiar las coordenadas de $P_1$ y $P_2$.

$P_1(x_1, y_1)$
-5
-3
$P_2(x_2, y_2)$
5
4

Gráfica Interactiva

Análisis y Ejercicio

Distancia $d$: ?

Punto Medio $M$: (?, ?)

Ejercicio Práctico:

  • Usa los controles para que $P_1 = (2, 2)$ y $P_2 = (-4, -6)$.
  • Verifica si la distancia $d$ es $10$ y el punto medio $M$ es $(-1, -2)$.

La Elipse

Definición

Una elipse es el lugar geométrico de todos los puntos $(x, y)$ cuya suma de distancias a dos puntos fijos, llamados **focos ($F_1, F_2$)**, es constante ($2a$).

Ecuación Canónica (Centro $(h, k)$):

$$\frac{(x-h)^2}{a^2} + \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$$

Donde $a$ es el semieje mayor y $b$ es el semieje menor. La relación con los focos $c$ es: $a^2 = b^2 + c^2$.

Parámetros Interactivos

Mueve los deslizadores para cambiar el centro $(h, k)$ y los semiejes $a$ y $b$.

$$ \frac{(x-\color{red}{h})^2}{\color{blue}{a}^2} + \frac{(y-\color{green}{k})^2}{\color{naranja}{b}^2} = 1 $$
0.0
0.0
5.0
3.0

Gráfica Interactiva

Análisis y Ejercicio

Centro $(h, k)$: (?, ?)

Focos $F_1, F_2$: ?

Eje Mayor (Horizontal): ?

Eje Menor (Vertical): ?

Ejercicio Práctico:

  • Configura $h=0, k=0, a=5, b=3$. Los focos deben estar en $(\pm 4, 0)$.
  • ¿Qué pasa si $a = b$? (Deberías obtener una circunferencia).
  • Configura $a=3, b=5$. Observa cómo los focos cambian al eje $y$.

La Hipérbola

Definición

Una hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos $(x, y)$ cuya diferencia de distancias a dos puntos fijos, llamados **focos ($F_1, F_2$)**, es constante ($2a$).

Ecuación Canónica (Horizontal):

$$\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1$$

Ecuación Canónica (Vertical):

$$\frac{(y-k)^2}{a^2} - \frac{(x-h)^2}{b^2} = 1$$

La relación con los focos $c$ es: $c^2 = a^2 + b^2$.

Parámetros Interactivos

Mueve los deslizadores y cambia la orientación.

0.0
0.0
3.0
2.0

Gráfica Interactiva

Análisis y Ejercicio

Centro $(h, k)$: (?, ?)

Focos $F_1, F_2$: ?

Asíntotas: ?

Ejercicio Práctico:

  • Configura $h=0, k=0, a=3, b=2$ (Horizontal).
  • Verifica que las asíntotas son $y = \pm (2/3)x$.
  • Cambia la orientación a Vertical. Ahora las asíntotas deben ser $y = \pm (3/2)x$.