Regresión lineal simple

Propósito del curso

Una tesis doctoral en Administración se juzga por la calidad de su argumento: una pregunta relevante para la gestión, una teoría que la ilumina y una evidencia que la responde de forma creíble. El curso Metodología cuantitativa se ocupa del tercer componente: cómo convertir datos de empresas, empleados, clientes o entidades públicas en evidencia que resista la mirada de un jurado y de los revisores de una revista.

Al terminar la serie deberías ser capaz de:

• Plantear preguntas de investigación cuantitativas con variables bien operacionalizadas y un diseño acorde con el tipo de conclusión que buscas (descriptiva, explicativa o predictiva).
• Elegir la técnica adecuada según la escala de la variable de respuesta, el número de variables y la presencia de constructos latentes o de datos anidados.
• Estimar e interpretar los modelos en R, verificar sus supuestos y traducir los coeficientes al lenguaje de la gestión, con sus unidades y su incertidumbre.
• Reportar los resultados con las normas APA 7 y con honestidad sobre las limitaciones .

El enfoque es aplicado sin renunciar al rigor: cada técnica se presenta con su intuición, su formalización matemática y su interpretación en gestión, y se practica con datos de marketing, finanzas, talento humano, operaciones, servicio, innovación y sector público. Los datos de los ejemplos son ficticios con fines didácticos, pero todos los números que verás se calcularon con R.

Por qué empezar por la regresión lineal simple

La regresión lineal simple es el «puerto de salida» de toda la serie. Con una sola variable explicativa se ven, sin ruido algebraico, las ideas que reaparecerán en todos los modelos posteriores: la media condicional, la estimación por mínimos cuadrados, el error y sus supuestos, la inferencia sobre los coeficientes, el diagnóstico de residuos y la diferencia entre asociación y causalidad. Quien domina este cuaderno tiene la mitad del camino recorrido para la regresión múltiple, la logística, los modelos multinivel e incluso para entender qué hace un bosque aleatorio cuando predice.

El hilo conductor es un caso guía: la inversión en publicidad digital y las ventas de 8 sucursales de una cadena de almacenes del Valle del Cauca. Lo encontrarás en todas las estaciones, para que puedas concentrarte en la técnica nueva sin tener que aprender un contexto nuevo cada vez.

Una tesis empieza con una pregunta, no con una base de datos

Imagina que llegas al comité doctoral con un archivo de 400 empresas y la frase «quiero hacer una regresión». La primera pregunta del comité será: ¿para responder qué? La regresión lineal simple es una herramienta para responder preguntas de la forma

«¿Cómo cambia, en promedio, la variable de gestión Y cuando la variable X es mayor?»

Una pregunta de investigación cuantitativa bien planteada nombra cinco elementos: la unidad de análisis (sucursal, empleado, empresa, municipio), la población a la que se quiere generalizar, la variable de respuesta $Y$, la variable explicativa $X$ y el horizonte temporal (un mes, un año, cinco años). insisten en que la pregunta debe ser medible, delimitada y relevante para la disciplina; en administración, además, debe tener una consecuencia de decisión: qué haría distinto un gerente si la respuesta fuera «mucho», «poco» o «nada».

La regresión traduce esa pregunta en un objeto matemático preciso: la media condicional de $Y$ dado $X$. En el caso simple se supone que esa media es una recta,

y la pregunta de gestión se convierte en una pregunta sobre $\beta_1$: ¿es distinto de cero?, ¿de qué signo?, ¿de qué tamaño en unidades del problema? El modelo completo, con su término de error, se estudia en la estación del modelo de regresión; aquí nos ocupa todo lo que va antes de la ecuación.

Los papeles de las variables

En una regresión cada variable cumple un papel que decide el investigador a partir de la teoría, no el programa estadístico. La variable de respuesta (o dependiente) $Y$ es el resultado que se quiere explicar o predecir: ventas, desempeño, rotación, satisfacción del usuario. La variable explicativa (o independiente, predictora) $X$ es la que se sospecha que se asocia con $Y$ o que la produce. Además aparecen papeles que la regresión simple no puede representar, pero que debes nombrar en tu marco teórico: las variables de control, las confusoras (causas comunes de $X$ y de $Y$), las mediadoras (el mecanismo por el que $X$ llega a $Y$) y las moderadoras (las que cambian la fuerza de la relación). Reconocerlas es la puerta de entrada a la regresión múltiple del Cuaderno 2.

Operacionalizar: del constructo al número

Muchos conceptos de la administración —clima organizacional, orientación al mercado, liderazgo transformacional, calidad del servicio— no se observan directamente: son constructos. Operacionalizar es la cadena de decisiones que lleva del constructo a una columna de datos: constructo → dimensiones → indicadores → ítems → escala de respuesta → regla de puntuación. Cada eslabón debe justificarse con literatura y con evidencia de validez y confiabilidad. Una regresión entre dos índices mal construidos produce una pendiente perfectamente calculada y perfectamente inútil. Por eso el capítulo de método de una tesis incluye una matriz de operacionalización, como la de la del ejemplo 1.

Escalas de medición

El número que resulta de operacionalizar pertenece a una escala, y la escala dice qué operaciones tienen sentido. La clasificación clásica distingue cuatro niveles; la los resume junto con su tipo de objeto en R. La regla práctica para este cuaderno es sencilla: la variable de respuesta de una regresión lineal debe ser cuantitativa (intervalo o razón, o una escala sumada que razonablemente se trate como tal). Si $Y$ es nominal binaria (renuncia sí/no) se usa la regresión logística del Cuaderno 3; si es ordinal con pocas categorías, la logística ordinal del Cuaderno 4.

Las escalas tipo Likert merecen una nota: un ítem aislado de cinco puntos es ordinal, pero el promedio de varios ítems que miden el mismo constructo (por ejemplo, ocho ítems de satisfacción laboral) se comporta de forma aproximadamente continua y la práctica habitual en administración lo trata como de intervalo. Es una decisión metodológica que debes declarar y defender, no un detalle.

Correlación no es causalidad: tres historias para un mismo dato

Supón que en tus datos las sucursales que más invierten en publicidad venden más. Esa asociación es compatible con al menos tres historias causales, dibujadas en la : (a) la publicidad aumenta las ventas; (b) las ventas aumentan la publicidad, porque el presupuesto publicitario se fija como porcentaje de lo vendido (causalidad inversa); (c) un tercer factor, como el tamaño o la ubicación de la sucursal, aumenta a la vez la publicidad y las ventas (confusión). A esas tres se suman el azar en muestras pequeñas y el sesgo de selección (estudiar sólo a las empresas que sobrevivieron). Los datos de una sola foto no distinguen entre estas historias: la correlación es simétrica, .

El diseño decide qué puedes afirmar

La herramienta para separar esas historias no es estadística sino de diseño. La compara los cuatro diseños más usados en las tesis de administración. En un diseño transversal se mide todo en un solo momento: es barato y rápido, pero sólo permite hablar de asociación. En un diseño longitudinal (panel) se siguen las mismas unidades en el tiempo, lo que permite verificar que $X$ antecede a $Y$ y controlar características estables de cada unidad. En un experimento el investigador asigna $X$ al azar; la aleatorización rompe cualquier vínculo entre $X$ y las demás causas de $Y$, y por eso autoriza la lectura causal de $b_1$ (). Los cuasiexperimentos (diferencias en diferencias, discontinuidad, variables instrumentales) aprovechan asignaciones «casi aleatorias» que ocurren en la realidad, como una política pública que se aplica en unos municipios y no en otros .

En clave de gestión. Si el gerente quiere saber «¿qué pasa con las ventas si yo subo la publicidad un millón?», necesita un efecto causal; si sólo quiere «pronosticar las ventas de una sucursal que ya invierte 10 millones», basta una asociación estable. Pronosticar y explicar son objetivos distintos, y tu tesis debe declarar cuál persigue. El Prof. Posada lo resume en los tres niveles de análisis de la presentación del curso: describir, inferir y explicar, modelizar.

Cómo se ve en tesis de administración

La reúne preguntas típicas de tesis doctorales en administración que pueden abordarse, al menos en una primera aproximación, con una regresión lineal simple. Fíjate en que la misma técnica sirve a preguntas descriptivas, predictivas y causales: lo que cambia es el diseño y, con él, la redacción de las conclusiones.

Mirar primero: la regla que ningún software aplica por ti

R calcula una recta de mínimos cuadrados para cualquier par de columnas numéricas, tenga sentido o no. Nadie te avisará si la relación es curva, si un solo punto arrastra la pendiente o si los datos forman dos grupos distintos. La única defensa es mirar. El estadístico Francis Anscombe lo demostró en 1973 con cuatro conjuntos de datos que comparten medias, varianzas, correlación y recta, y que sin embargo cuentan historias opuestas . Desde entonces, todo texto serio de regresión empieza por el gráfico .

La exploración tiene dos momentos. Primero, cada variable por separado: dónde está su centro, cuánto se dispersa, qué forma tiene su distribución y entre qué valores se mueve. Segundo, las dos juntas en un diagrama de dispersión. Ninguno sustituye al otro: hay atípicos que sólo se ven en el segundo momento (ejemplo 3).

Primer momento: la estadística descriptiva de X y de Y

Para cada variable conviene reportar una medida de centro (media $\bar X$ y mediana), una de dispersión (desviación estándar $s$ y rango intercuartílico) y los extremos. La desviación estándar muestral es

y para comparar dispersiones de variables con unidades o niveles distintos se usa el coeficiente de variación $CV=100\,s/\bar X$ (sólo para variables de razón). En el caso guía () la publicidad varía mucho más, en términos relativos, que las ventas: $CV$ de 51,8 % frente a 14,8 %.

Estos números no son un trámite: tienen consecuencias directas para la regresión. El rango de $X$ delimita la zona donde la recta tiene respaldo (fuera de él se extrapola). La dispersión de $X$, medida por $S_{xx}$, determina la precisión de la pendiente: con más variedad en $X$, $b_1$ se estima mejor. Y la forma de la distribución de $Y$ (asimetría, colas largas) anticipa problemas en los residuos.

Segundo momento: construir bien el diagrama

Un diagrama de dispersión representa cada unidad (sucursal, empleado, empresa) como un punto $(X_i,Y_i)$. Cinco reglas lo hacen honesto: (1) la variable explicativa en el eje horizontal y la de respuesta en el vertical; (2) rótulos con unidades; (3) escalas que no obliguen a empezar en cero si eso aplasta la nube; (4) con muchos datos, transparencia o un ligero desplazamiento aleatorio (jitter) para que los puntos superpuestos no desaparezcan, algo frecuente con escalas Likert; (5) un punto por unidad de análisis, nunca promedios mezclados con datos individuales.

Leer la nube: forma, dirección, fuerza y atípicos

Una lectura sistemática responde cuatro preguntas, que puedes recordar como FDFA. La muestra los patrones típicos.

• Forma. ¿La nube sigue una recta, una curva (rendimientos decrecientes, saturación), no muestra patrón, o se separa en grupos (dos tipos de tienda, dos regiones)? La regresión lineal sólo resume bien la primera.
• Dirección. ¿Al aumentar $X$, $Y$ tiende a aumentar (asociación positiva) o a disminuir (negativa)?
• Fuerza. ¿Qué tan cerca están los puntos de la tendencia? Una nube delgada indica asociación fuerte; una ancha, débil. La correlación de Pearson la cuantificará.
• Atípicos. ¿Hay puntos lejos del patrón? ¿Lejos en $X$ (mucho apalancamiento), lejos en $Y$, o en ambas? ¿Hay una explicación de gestión (un error de digitación, una huelga, una sucursal recién abierta)?

Aparte, dos patrones merecen nombre propio porque violan supuestos que veremos más adelante: el embudo, donde la dispersión de $Y$ crece con $X$ (heterocedasticidad, típica en salarios y ventas de empresas de tamaños muy distintos), y los grupos, que delatan una variable categórica omitida.

Los cuadrantes de las medias

Un truco muy útil: traza en el diagrama una línea vertical en $\bar X$ y una horizontal en $\bar Y$. El plano queda dividido en cuatro cuadrantes alrededor del punto de medias $(\bar X,\bar Y)$. En los cuadrantes I (arriba a la derecha) y III (abajo a la izquierda) las dos desviaciones tienen el mismo signo, de modo que el producto cruzado

es positivo; en los cuadrantes II y IV es negativo. Si la mayoría de los puntos —y los más alejados— caen en I y III, la asociación es positiva. La suma de estos productos es $S_{xy}$, el numerador de la pendiente y de la correlación: el diagrama de cuadrantes es la intuición geométrica que la estación siguiente convierte en covarianza.

Atípicos: univariados y bivariados

Para una sola variable, la regla de Tukey declara atípico todo valor fuera de las «vallas»

que es lo que dibuja un diagrama de caja (boxplot()). Pero en regresión importa otra cosa: un punto puede ser completamente normal en $X$ y en $Y$ por separado y, sin embargo, estar lejos del patrón conjunto. Esos atípicos bivariados sólo aparecen en el diagrama de dispersión o en los residuos. Y no todos pesan igual: un punto extremo en $X$ tiene más apalancamiento sobre la pendiente que uno cerca de $\bar X$, como verás en la estación de diagnóstico.

En clave de gestión. Un atípico no se borra por ser incómodo. Se investiga: ¿error de registro?, ¿un evento extraordinario (cierre de vía, ciberataque, apertura de sucursal)?, ¿una unidad que pertenece a otra población (una franquicia en otro país)? Según la respuesta se corrige, se analiza aparte o se conserva, y siempre se informa.

El cuarteto de Anscombe

Anscombe construyó cuatro conjuntos de 11 pares con, a tres decimales, las mismas medias ($\bar X=9$, $\bar Y=7{,}50$), las mismas varianzas ($s_X^2=11$, $s_Y^2\approx4{,}12$), la misma correlación ($r\approx0{,}816$) y la misma recta $\hat Y=3{,}00+0{,}500X$ (). Sus diagramas () muestran: I, una relación lineal con ruido, el único caso donde la recta es el modelo correcto; II, una parábola perfecta; III, una recta perfecta con un solo atípico que la tuerce; IV, diez puntos con el mismo $X$ y un único punto que decide por sí solo la pendiente.

La moraleja para una tesis es directa: si tu único criterio para aceptar un modelo fuera «el $R^2$ es alto y la pendiente significativa», aceptarías los cuatro, y en tres estarías equivocado. El diagrama de dispersión y, después, el de residuos, son parte del análisis, no decoración.

De los cuadrantes a la covarianza

En la estación 6 trazamos líneas en $\bar X$ y en $\bar Y$ y vimos que cada punto aporta un producto cruzado $(X_i-\bar X)(Y_i-\bar Y)$, positivo en los cuadrantes I y III y negativo en II y IV. Promediar esos productos da una medida de cómo varían juntas las dos variables, la covarianza muestral:

Si $s_{XY}>0$, las sucursales que invierten más que el promedio tienden a vender más que el promedio; si $s_{XY}<0$, ocurre lo contrario; si $s_{XY}\approx0$, no hay tendencia lineal. Se divide entre $n-1$, igual que en la varianza, para que el estimador sea insesgado de la covarianza poblacional; nota que $s_{XX}=s_X^2$: la varianza es la covarianza de una variable consigo misma.

El problema de la covarianza es que sus unidades son el producto de las unidades. En el caso guía vale 34,57 «millones de pesos × millones de pesos». Si el salario se expresa en miles de pesos en lugar de millones, la covarianza se multiplica por mil sin que la relación haya cambiado en nada (ejemplo 2). No sirve, por tanto, para decir si una asociación es fuerte o débil, ni para comparar estudios.

El coeficiente de correlación de Pearson

La solución, que formalizó a partir de las ideas de , es dividir la covarianza entre el producto de las desviaciones estándar:

Una lectura equivalente y muy intuitiva: si estandarizas cada variable, $z_{X_i}=(X_i-\bar X)/s_X$ y $z_{Y_i}=(Y_i-\bar Y)/s_Y$, la correlación es el promedio de los productos de puntajes $z$,

Así, $r$ no tiene unidades. Su signo indica la dirección de la asociación lineal y su valor absoluto, la fuerza: $|r|=1$ significa que todos los puntos están sobre una recta; $r=0$, que no hay tendencia lineal. Para el caso guía, $r=0{,}9896$ (ejemplo 1).

¿Cuándo es «fuerte» una correlación?

No hay una respuesta universal. propuso como referencia, para las ciencias del comportamiento, $|r|=0{,}10$ (pequeña), $0{,}30$ (mediana) y $0{,}50$ (grande), y él mismo advirtió que son convenciones para cuando no hay nada mejor. En administración la referencia correcta es la literatura de tu campo: una correlación de 0,30 entre satisfacción y rotación puede ser notable, mientras que 0,30 entre dos ítems del mismo cuestionario es preocupantemente baja. La resume las convenciones.

Una pista útil: $r^2$ es la proporción de la variabilidad de $Y$ que comparte linealmente con $X$. Una correlación de 0,50 «suena» alta, pero sólo comparte el 25 % de la variabilidad. En la regresión simple, $r^2$ coincide con el coeficiente de determinación $R^2$, y la pendiente MCO es $b_1=r\,s_Y/s_X$ ().

De la muestra a la población: ¿es $\rho$ distinto de cero?

El $r$ de tus 8 sucursales es un estimador del coeficiente poblacional $\rho$. Si tomaras otra muestra de 8 sucursales, obtendrías otro $r$: la celda R 3 muestra que, con $\rho=0{,}6$ y $n=8$, el 95 % de los $r$ muestrales cae entre $-0{,}08$ y $0{,}93$. Por eso un $r$ observado necesita un juicio inferencial. Bajo normalidad bivariada y $H_0:\rho=0$,

Este estadístico es idéntico al $t$ de la pendiente en la regresión simple: probar $\rho=0$ y probar $\beta_1=0$ es lo mismo (en el caso guía, $t=16{,}86$ en ambos). Despejando $r$ se obtiene el valor crítico $r_c=t_c/\sqrt{t_c^2+n-2}$, que depende sólo de $n$ (): con 8 sucursales hace falta $|r|>0{,}71$ para rechazar $H_0$ al 5 %; con 400 basta $|r|>0{,}10$.

La lección para una tesis: con muestras grandes, correlaciones triviales resultan «significativas»; con muestras pequeñas, correlaciones grandes pueden no serlo. Por eso, además del valor $p$, se reporta un intervalo de confianza para $\rho$.

El intervalo de confianza: la transformación z de Fisher

La distribución de $r$ es asimétrica cuando $\rho$ está lejos de cero (no puede pasar de 1), así que el intervalo «$r\pm$ algo» no funciona. Fisher propuso transformar:

En la escala $z$ se construye un intervalo simétrico y luego se devuelve a la escala de $r$ con la función inversa, la tangente hiperbólica:

El intervalo resultante es asimétrico alrededor de $r$, como debe ser. Es exactamente el que imprime cor.test() en R (celdas 1 y 2).

Lo que $r$ no ve

La correlación de Pearson resume sólo la asociación lineal, y es sensible a lo mismo que la media: un atípico puede inflarla o desplomarla (ejemplo 3 de la estación 6: 0,83 con la entrega atípica, 0,9995 sin ella). Tampoco ve relaciones curvas: para $X=1,2,\dots,9$ e $Y=(X-5)^2$, una relación perfecta en U, R devuelve cor(x, y) = 0. Además, $r$ se reduce cuando el rango de $X$ está restringido (estudiar sólo a gerentes con alto desempeño), y se infla cuando se correlacionan promedios de grupos en lugar de individuos (falacia ecológica). Cuando los datos son ordinales o tienen atípicos, la correlación de rangos de Spearman es una alternativa robusta.

De la nube de puntos a una pregunta sobre promedios

En la estación anterior mediste la fuerza de la asociación lineal con el coeficiente de Pearson (estación 7). La correlación es simétrica: no distingue entre causa y efecto, ni entre la variable que se quiere explicar y la que explica. La regresión da un paso más y es asimétrica: eliges una variable de respuesta $Y$ (ventas, satisfacción, costos, rotación) y una variable explicativa $X$ (publicidad, capacitación, volumen de producción) y te preguntas cómo cambia el valor esperado de $Y$ cuando $X$ cambia.

Vuelve al caso guía de la cadena de almacenes del Valle del Cauca. Si tomaras todas las sucursales imaginables que invierten 8 millones de pesos en publicidad, no venderían lo mismo: una está junto a un centro comercial, otra tiene un equipo comercial nuevo, otra sufrió una semana de lluvias. Lo que sí existe es un promedio de ventas para ese nivel de inversión. La regresión estudia cómo se mueve ese promedio a lo largo de los valores de $X$. Esta idea, la de una media que depende de otra variable, la formuló Galton al estudiar la herencia de la estatura y es el corazón de todos los modelos que verás en el doctorado .

La media condicional

El promedio de $Y$ entre las unidades que tienen un valor dado de $X$ se llama esperanza condicional y se escribe $E(Y\mid X=x)$. Si la escribes para cada valor posible de $x$ obtienes una función, la función de regresión poblacional (FRP). El modelo de regresión lineal simple supone que esa función es una recta:

Los números $\beta_0$ y $\beta_1$ son parámetros: describen a la población y no dependen de la muestra que recojas. Son desconocidos, igual que el promedio de ventas de todas las sucursales posibles. La regresión es, ante todo, un problema de estimación: con unos pocos datos queremos aproximar esos dos números.

Cada observación individual se aparta de su promedio. Esa distancia es el término de error $\varepsilon_i=Y_i-E(Y\mid X_i)$, y con ella se escribe el modelo para cada unidad $i$ de la muestra:

La ecuación es una identidad de contabilidad más que una ley: toda venta observada se reparte en lo que «le corresponde» según su inversión y en lo que se desvía de ese promedio. Lo que convierte la identidad en un modelo con contenido son los supuestos sobre $\varepsilon_i$. El más importante, y el que aquí adoptamos, es que el error no tiene ninguna tendencia sistemática para ningún valor de $X$:

Si se cumple , tomar esperanzas condicionales en devuelve exactamente la recta . Ésa es la lógica completa del modelo: una recta para la media y un error de media cero alrededor de ella.

¿Qué hay dentro del término de error?

Para un investigador en administración, $\varepsilon$ no es ruido abstracto: es un inventario de todo lo que el modelo no nombra. En el caso guía contiene, al menos, cuatro cosas:

1. Variables omitidas: ubicación de la sucursal, tamaño del local, precios de la competencia, experiencia del gerente.
2. Error de medición: la inversión registrada en contabilidad puede no ser la que realmente llegó al cliente (pautas pagadas tarde, descuentos de la agencia).
3. Aleatoriedad intrínseca: el clima, un día festivo, una noticia viral.
4. Error de forma funcional: si la verdadera relación es curva (rendimientos decrecientes de la publicidad), la recta deja una parte sistemática en el error.

El supuesto pide que, en promedio, todos esos factores no estén relacionados con $X$. Si las sucursales más grandes invierten más en publicidad y venden más por su tamaño, el tamaño viaja escondido en $\varepsilon$ y se correlaciona con $X$: el supuesto falla y $\beta_1$ mezcla el efecto de la publicidad con el del tamaño. Ese es el problema de endogeneidad por variable omitida, tal vez el reproche más frecuente que reciben las tesis cuantitativas en administración .

Población y muestra: dos rectas distintas

En la práctica nunca ves la FRP. Ves $n$ pares $(X_i,Y_i)$ y con ellos construyes una función de regresión muestral (FRM):

donde $b_0$ y $b_1$ (también escritos $\hat\beta_0$ y $\hat\beta_1$) son estimadores: reglas de cálculo que, aplicadas a los datos, producen números. En la estación 9 deduciremos la regla de mínimos cuadrados que usa lm(). Lo esencial ahora es la distinción conceptual, resumida en la .

Así como el modelo poblacional descompone cada observación en parte sistemática y error, la recta muestral la descompone en valor ajustado y residuo:

El residuo $e_i$ es la «huella» observable del error $\varepsilon_i$, pero no es el error: depende de los estimadores y, por tanto, de la muestra. Confundirlos es uno de los errores conceptuales más comunes en los capítulos de método.

Una distribución para cada valor de $X$

Si además suponemos que los errores tienen la misma varianza $\sigma^2$ para todo $X$ y que son normales (supuestos que estudiarás a fondo en la estación 12), el modelo dice algo muy concreto: para cada nivel de inversión hay una campana de ventas posibles, centrada en la recta y con el mismo ancho,

La dibuja esa imagen, que conviene tener grabada: la recta no pasa por los datos, pasa por los centros de las distribuciones condicionales. Cada punto observado es una extracción al azar de la campana que le corresponde.

¿Qué significa «lineal»?

La palabra «lineal» del nombre se refiere a los parámetros, no necesariamente a la variable. El modelo $Y_i=\beta_0+\beta_1\ln X_i+\varepsilon_i$ es lineal en los parámetros (basta llamar $Z_i=\ln X_i$) y se estima con las mismas herramientas; el modelo $Y_i=\beta_0X_i^{\beta_1}\varepsilon_i$ no lo es en su forma original, aunque se linealiza tomando logaritmos. Esa flexibilidad es la que explotarás en la estación 16. En esta región del cuaderno trabajamos con la versión más sencilla: la media de $Y$ es una recta en $X$.

Cómo se leen $\beta_0$ y $\beta_1$

Restando la ecuación evaluada en $x+1$ y en $x$ se obtiene la lectura central de la pendiente:

$\beta_1$ es el cambio en el valor esperado de $Y$ asociado a una unidad más de $X$, el mismo en todo el rango (eso es lo que significa que la media sea una recta). $\beta_0=E(Y\mid X=0)$ es el promedio de $Y$ cuando $X$ vale cero, lectura que sólo tiene sentido si $X=0$ es posible y está cerca de los datos. Dos advertencias de gestión que se repiten en todo el cuaderno: «esperado» significa promedio, no lo que le pasará a cada unidad; y «asociado» no significa «causado». La estación 10 se dedica entera a traducir estos coeficientes al lenguaje de la gerencia.

Nota de campo: el modelo es una hipótesis sobre la población, no una propiedad de los datos. Siempre puedes trazar una recta por una nube; que la media condicional sea realmente una recta es algo que hay que justificar con teoría y revisar con los residuos.

El problema: escoger una recta

En la estación 8 planteaste el modelo $Y_i=\beta_0+\beta_1X_i+\varepsilon_i$ y dijiste que $\beta_0$ y $\beta_1$ son desconocidos. Ahora necesitas una regla que, aplicada a los datos de las 8 sucursales del caso guía, produzca dos números $b_0$ y $b_1$. Imagina que tres analistas trazan rectas a mano sobre el diagrama de dispersión: cada uno obtendrá una distinta, y no habría forma de decidir quién tiene razón. Hace falta un criterio objetivo, reproducible y con buenas propiedades.

Para una recta candidata cualquiera $a+bX$, la sucursal $i$ deja un residuo $e_i(a,b)=Y_i-a-bX_i$: lo que la recta se queda corta o se pasa en ese punto, medido en millones de pesos. Un buen ajuste hace pequeños esos residuos en conjunto. Hay varias formas de agregarlos:

• Sumarlos: no sirve. Una recta horizontal a la altura de $\bar Y$ da suma cero y no explica nada; los positivos y los negativos se cancelan.
• Sumar sus valores absolutos (mínimas desviaciones absolutas): es razonable y robusto, pero la función $|e|$ no es derivable en cero, no hay fórmula cerrada y la solución puede no ser única.
• Sumar sus cuadrados: todos cuentan como positivos, los errores grandes pesan más que los pequeños, la función es suave y, como verás, el mínimo es único y tiene fórmula explícita.

Legendre publicó el método en 1805 para calcular órbitas de cometas ; Gauss lo justificó en 1809 vinculándolo con errores normales . Dos siglos después sigue siendo el punto de partida de toda la econometría .

El criterio de mínimos cuadrados

El método de mínimos cuadrados ordinarios (MCO) elige los valores de $a$ y $b$ que minimizan la suma de cuadrados de los residuos:

El nombre es literal: si sobre cada residuo dibujas un cuadrado de lado $|e_i|$, su área es $e_i^2$, y MCO busca la recta que hace mínima el área total. El simulador de la fase V te deja mover la recta y ver crecer o encoger esos cuadrados. Fíjate en que $S$ es una función de dos variables, $a$ y $b$; los datos $(X_i,Y_i)$ son constantes conocidas. Es un problema de optimización como los de la microeconomía.

Derivación de las ecuaciones normales

En un mínimo interior de una función derivable, las dos derivadas parciales valen cero. Usando la regla de la cadena término a término:

Divide entre $-2$, reparte las sumas y escribe $b_0$, $b_1$ para la solución. Resultan las ecuaciones normales, un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas:

Para resolverlo, divide la primera ecuación entre $n$: queda $b_0+b_1\bar X=\bar Y$, es decir, $b_0=\bar Y-b_1\bar X$. Sustituye en la segunda:

Los dos paréntesis tienen nombre propio. Con las identidades $\sum(X_i-\bar X)^2=\sum X_i^2-n\bar X^2$ y $\sum(X_i-\bar X)(Y_i-\bar Y)=\sum X_iY_i-n\bar X\bar Y$ se obtienen los estimadores MCO:

Compara con el teorema de la estación 8, $\beta_1=\operatorname{Cov}(X,Y)/\operatorname{Var}(X)$: MCO reemplaza los momentos poblacionales por los muestrales. Y como $S_{xy}=r\sqrt{S_{xx}S_{yy}}$, también puedes escribir $b_1=r\,s_Y/s_X$, que muestra que la pendiente tiene el signo de la correlación.

¿Es de verdad un mínimo?

Anular las derivadas sólo garantiza un punto crítico. La matriz de segundas derivadas (hessiana) de $S$ es

Como $2n>0$ y $\det H=4nS_{xx}>0$ siempre que haya al menos dos valores distintos de $X$, la hessiana es definida positiva: $S$ es una función convexa (un «tazón») y el punto crítico es el mínimo global único. Si todas las sucursales hubieran invertido lo mismo, $S_{xx}=0$, el sistema no tendría solución única y ninguna pendiente sería estimable: el diseño de la recolección de datos importa.

Hay una prueba aún más reveladora, sin cálculo, que da la : la SCE de cualquier recta es la mínima más dos penalizaciones cuadráticas, una por pasar a la altura equivocada en $\bar X$ y otra por tener la inclinación equivocada. La muestra la segunda.

Lo que MCO garantiza y lo que no

MCO es, primero, un procedimiento algebraico: dados unos números, produce la recta de menor SCE, haya o no un modelo estadístico detrás. Los cuatro teoremas de la fase III son identidades que valen para cualquier conjunto de datos, sin supuestos. Que además $b_0$ y $b_1$ sean buenos estimadores de $\beta_0$ y $\beta_1$ (insesgados y de varianza mínima) requiere los supuestos sobre los errores y es el teorema de Gauss–Markov de la estación 12. Mantener separados los dos planos, el algebraico y el estadístico, evita muchas confusiones .

El precio de los cuadrados también es algebraico: como cada residuo entra al cuadrado, una observación lejana pesa muchísimo. Un punto con $X$ muy alejado de $\bar X$ puede «tirar» de la recta hacia sí; lo verás en el ejemplo 3 y lo diagnosticarás formalmente en la estación 15.

Cuatro resultados con demostración completa. Ninguno necesita más que álgebra y las ecuaciones normales, y los cuatro valen para cualquier recta MCO con intercepto.

Nota de campo: los cuatro teoremas son identidades algebraicas. Que los residuos sumen cero no dice nada sobre si el modelo es correcto; sólo dice que la cuenta está bien hecha.

La pendiente: un efecto marginal con unidades

En el caso guía, $b_1=2{,}6304$. El número solo es mudo; con unidades se vuelve una afirmación de gestión: por cada millón de pesos adicional invertido en publicidad, las ventas esperadas de una sucursal son 2,63 millones de pesos mayores. Las unidades de la pendiente son siempre «unidades de $Y$ por unidad de $X$»:

La segunda expresión es la que más se usa en la práctica: el cambio esperado en $Y$ para un cambio de $\Delta X$ unidades, el mismo en todo el rango porque la media es una recta. Si la gerencia evalúa aumentar la pauta en 500 mil pesos, $\Delta X=0{,}5$ y el cambio esperado en ventas es $2{,}6304\times0{,}5=1{,}32$ millones. Tres matices separan una interpretación de pregrado de una doctoral:

1. «Esperadas» o «en promedio». La pendiente describe la media condicional (estación 8), no lo que pasará en una sucursal concreta.
2. «Se asocia con», no «causa». Con datos observacionales, $b_1$ compara sucursales que invierten distinto; no dice qué pasaría si la misma sucursal invirtiera más. Para el lenguaje causal hace falta un diseño (experimento, cuasiexperimento, panel con efectos fijos) o un argumento de identificación explícito .
3. Dentro del rango observado. La inversión va de 2 a 12 millones; la recta no dice nada fiable sobre 30 millones.

Hay además una trampa gerencial frecuente: $b_1=2{,}63$ habla de ventas, no de utilidad. Si el margen de contribución de la cadena es del 30 %, cada millón adicional en publicidad se asocia con $0{,}30\times2{,}63=0{,}79$ millones de contribución: ¡menos que el millón invertido! Un coeficiente «alto y significativo» puede describir una inversión que destruye valor. Traducir a la métrica de decisión es parte de la interpretación.

El intercepto: con sentido, sin sentido y extrapolado

$b_0$ es el valor esperado de $Y$ cuando $X=0$. Que esa frase signifique algo depende de tres preguntas: ¿es posible $X=0$?, ¿hay datos cerca de $X=0$?, ¿la teoría dice algo sobre ese punto? Con ellas se distinguen tres situaciones:

Cuando el intercepto no tiene sentido no hay que «arreglarlo»: la recta lo necesita para estar bien ubicada (recuerda que sin él se pierde la propiedad de los residuos, estación 9). Lo que sí puedes hacer es moverlo a un punto que interese.

Centrar la variable explicativa

Si en lugar de $X$ usas $X^{*}=X-c$, la recta es la misma, sólo que medida desde otro origen:

La pendiente no cambia, y el nuevo intercepto $b_0^{*}=b_0+b_1c$ es la media estimada de $Y$ cuando $X=c$. Si $c=\bar X$, por el teorema del centroide $b_0^{*}=\bar Y$: «una sucursal con la inversión promedio, 7 millones, vende en promedio 65 millones». Si $c$ es el presupuesto actual de la cadena, el intercepto responde a «¿cuánto vende hoy, en promedio, una sucursal típica?». La lo muestra: centrar es sólo mover el eje vertical.

Cambiar las unidades

Si expresas la inversión en cientos de miles de pesos ($X^{*}=10X$), un «cien mil» es la décima parte de un millón y la pendiente se divide entre 10: $b_1^{*}=0{,}2630$ millones de ventas por cada cien mil pesos de publicidad. Si expresas las ventas en miles de millones ($Y^{*}=Y/1000$), los dos coeficientes se dividen entre 1000. En general:

Lo que no cambia es lo que importa para la inferencia: el $R^2$, el estadístico $t$ y el valor $p$ son idénticos con cualquier unidad. Por eso escoger unidades es una decisión de comunicación: elige las que produzcan coeficientes legibles (ni 0,0000263 ni 2 630 000) y que correspondan a un cambio realista de $X$ para tu lector.

Elasticidad: hablar en porcentajes

A los gerentes y economistas les gusta preguntar «si aumento la publicidad en 1 %, ¿en qué porcentaje cambian las ventas?». Esa es la elasticidad. En un modelo lineal la pendiente es constante, pero la elasticidad no: depende del punto en que se evalúa,

En el caso guía, en la media $\bar\eta=2{,}6304\times7/65=0{,}2833$: un 1 % más de publicidad se asocia con un 0,28 % más de ventas. En $X=2$ la elasticidad es 0,10 y en $X=12$, 0,40. La elasticidad es adimensional, así que no depende de las unidades. Si tu teoría habla de elasticidades constantes, el modelo adecuado es el log-log de la estación 16, donde la pendiente es la elasticidad.

El coeficiente estandarizado

Cuando las variables se miden en escalas arbitrarias (puntajes de clima organizacional, índices de liderazgo), a veces se reporta el coeficiente con ambas variables en desviaciones típicas: $b_1^{\text{std}}=b_1\,s_X/s_Y$. En la regresión simple coincide exactamente con la correlación de Pearson, $r$ (lo demuestra el ). En el caso guía, $b_1^{\text{std}}=2{,}6304\times3{,}6253/9{,}6362=0{,}9896$: una desviación típica más de inversión (3,63 millones) se asocia con 0,99 desviaciones típicas más de ventas (9,64 millones). Es útil para comparar, pero tiene un costo: depende de la variabilidad de tu muestra y se aleja de las unidades en que se toman decisiones .

Cuando $X$ es una variable ficticia

Si $X$ vale 1 para las tiendas con programa de fidelización y 0 para las demás, la «recta» sólo se evalúa en dos puntos y sus coeficientes son medias de grupo: $b_0=\bar Y_0$ (media de las tiendas sin programa) y $b_1=\bar Y_1-\bar Y_0$ (la diferencia de medias). La regresión simple con una ficticia es la prueba $t$ de dos muestras con varianzas iguales disfrazada de recta; esa equivalencia es la puerta de entrada al ANOVA y a la regresión con variables categóricas del Cuaderno 2 .

Nota de campo: el $R^2$ y el valor $p$ no cambian con las unidades; la magnitud de $b_1$ sí. Por eso «el coeficiente es pequeño» nunca es un argumento sin unidades.

Dos pronósticos para cada sucursal

Supón que debes pronosticar las ventas de una sucursal del caso guía. Si no supieras nada de su inversión en publicidad, tu mejor pronóstico sería el promedio, $\bar Y=65$ millones (es el valor que minimiza la suma de errores al cuadrado cuando no hay más información). Si conoces su inversión, usas la recta, $\hat Y_i=46{,}59+2{,}63X_i$. La bondad de ajuste compara los dos pronósticos: ¿cuánto error se ahorra al pasar de $\bar Y$ a $\hat Y$?

Toma la sucursal 8, que invirtió 12 millones y vendió 80. Se desvía 15 millones del promedio. La recta le asigna 78,15; de esos 15 millones, 13,15 los «explica» su inversión alta y 1,85 quedan como residuo:

La dibuja esas tres distancias. Para resumirlas sobre las 8 sucursales se elevan al cuadrado y se suman; gracias al teorema de descomposición de la estación 9 (), el término cruzado desaparece y la variabilidad total se reparte exactamente:

El coeficiente de determinación

La fracción de la variabilidad total que la recta explica es el coeficiente de determinación:

La segunda forma tiene una lectura poderosa: SCT es el error cuadrático total de pronosticar con $\bar Y$ y SCE el de pronosticar con la recta, así que $R^2$ es la reducción proporcional del error cuadrático que se logra al usar $X$. En el caso guía, conocer la inversión reduce el error cuadrático de pronóstico en un 97,93 %. En la regresión simple, además, $R^2=r^2$: el cuadrado de la correlación de la estación 7.

Lo que el $R^2$ no dice

Pocas cifras se malinterpretan tanto en las tesis. Cinco advertencias:

1. No mide si el modelo es correcto. Las cuatro nubes de Anscombe tienen el mismo $R^2\approx0{,}67$ y sólo una es lineal . Una relación curva puede tener $R^2$ alto con una recta inadecuada.
2. No mide causalidad ni la importancia práctica del efecto: un $R^2$ de 0,10 con un efecto de 5 millones por sucursal puede valer más que uno de 0,90 con un efecto trivial.
3. Depende del rango de $X$. Con la misma relación y el mismo ruido, un rango más estrecho de $X$ produce un $R^2$ menor (ejemplo 3). Comparar $R^2$ entre estudios con muestras distintas es arriesgado.
4. Depende de la variable respuesta. No compares el $R^2$ de un modelo para ventas con el de otro para el logaritmo de las ventas: las SCT son de variables distintas.
5. «Alto» depende del campo. En relaciones casi contables (costos y producción) se ven $R^2$ de 0,99; en comportamiento organizacional, valores de 0,10 a 0,30 son habituales y publicables.

El error estándar de la estimación

$R^2$ es relativo (una proporción); para decidir hace falta también una medida absoluta, en las unidades de $Y$. La varianza de los errores se estima con la SCE dividida entre sus grados de libertad,

Se divide entre $n-2$, y no entre $n$, porque al estimar $b_0$ y $b_1$ los residuos quedaron atados por dos restricciones ($\sum e_i=0$ y $\sum X_ie_i=0$): sólo $n-2$ de ellos varían libremente. Con ese divisor $s^2$ es un estimador insesgado de $\sigma^2$. La lectura gerencial: el pronóstico de ventas de una sucursal se equivoca típicamente en unos 1,5 millones, un 2,3 % de las ventas medias ($s/\bar Y=1{,}4964/65$). Bajo normalidad, alrededor del 95 % de las sucursales quedarán a menos de $2s\approx3$ millones de la recta. R lo llama Residual standard error.

Un anticipo: el $R^2$ ajustado

El $R^2$ nunca baja al añadir variables, aunque sean ruido. El $R^2$ ajustado corrige ese optimismo comparando varianzas (sumas divididas entre sus grados de libertad) en lugar de sumas:

En la regresión simple la diferencia es pequeña salvo con muestras muy chicas; su papel protagónico llega con la regresión múltiple del Cuaderno 2, donde sirve para comparar modelos con distinto número de predictores.

La tabla ANOVA

El análisis de varianza organiza la descomposición en una tabla estándar. Cada suma de cuadrados se divide entre sus grados de libertad para obtener un cuadrado medio, y el cociente de los dos cuadrados medios es el estadístico $F$ ().

La lógica del $F$ es una comparación de dos estimaciones de la varianza del error. CME estima $\sigma^2$ siempre; CMR estima $\sigma^2$ más un término que crece con $\beta_1^2$ (). Si la publicidad no tuviera relación lineal con las ventas ($\beta_1=0$), ambos cuadrados medios serían parecidos y $F\approx1$; un $F$ de 284 indica que la recta explica muchísimo más de lo que explicaría el azar. Con errores normales, $F\sim F_{1,\,n-2}$ bajo $H_0:\beta_1=0$; la prueba formal, su valor $p$ y la equivalencia $F=t^2$ son el tema de la estación 13.

Nota de campo: el $R^2$ responde a «¿qué fracción?»; el error estándar $s$ responde a «¿cuánto me equivoco, en pesos?». Un gerente casi siempre necesita la segunda.

De la recta a la inferencia: el experimento mental

Hasta ahora has tratado los coeficientes $b_0$ y $b_1$ como números: con las 8 sucursales del caso guía, $b_1=2{,}6304$. Pero imagina que la cadena repite el estudio el mes siguiente con otras 8 sucursales que invierten exactamente lo mismo en publicidad. Las ventas no serán idénticas, porque dependen también del clima, de la competencia y del equipo comercial; por tanto, la nueva recta tendrá otra pendiente, quizá 2,58 o 2,96. Si repitieras el estudio cien veces obtendrías cien pendientes distintas.

Esa es la idea central de toda la inferencia: $b_1$ es una variable aleatoria, porque es una función de las $Y_i$, que son aleatorias. Su comportamiento a lo largo de muestras repetidas se llama distribución muestral. La muestra seis de esas muestras imaginarias, todas generadas con la misma recta poblacional. Para que la distribución muestral de $b_1$ esté centrada en el verdadero $\beta_1$ y para conocer su dispersión necesitamos hacer supuestos sobre cómo se generaron los datos. Sin supuestos, MCO es sólo geometría; con supuestos, se vuelve un instrumento de inferencia .

Los supuestos del modelo clásico

La literatura econométrica enumera los supuestos de manera explícita; aquí seguimos la numeración de y la conectamos con la sigla LINE que viste en el modelo (linealidad, independencia, normalidad, igual varianza). La los reúne y, lo más importante, dice para qué sirve cada uno: no todos se necesitan para todo.

Observa la jerarquía: con S1–S4 los estimadores son insesgados; al añadir S5 son los mejores entre los lineales insesgados (Gauss–Markov); al añadir S6 conocemos su distribución exacta y las pruebas de la estación 13 son válidas incluso con 8 sucursales. Con muestras grandes, el teorema central del límite hace que la normalidad de los errores pierda importancia, pero S4 nunca deja de ser decisivo.

MCO es un promedio ponderado de las ventas

Para estudiar $b_1$ como variable aleatoria conviene reescribirlo. Como $\sum(X_i-\bar X)\bar Y=0$, la fórmula $b_1=S_{xy}/S_{xx}$ equivale a

Es decir, $b_1$ es una combinación lineal de las $Y_i$ con pesos $k_i$ que dependen sólo de las $X$. Los pesos son negativos para las sucursales que invierten menos que el promedio y positivos para las que invierten más; las sucursales extremas pesan más. Ese detalle explica por qué un dato lejano en $X$ tiene tanto poder sobre la pendiente, tema que retomarás en el diagnóstico de influencia.

Sustituyendo el modelo $Y_i=\beta_0+\beta_1X_i+\varepsilon_i$ en y usando las propiedades de los pesos ($\sum k_i=0$ y $\sum k_iX_i=1$, ) se obtiene la descomposición más útil de esta estación:

Léela despacio: lo que estimas es el verdadero efecto más una suma ponderada de errores. Toda la teoría de la estación sale de aquí. Si los errores tienen media cero dado $X$ (S4), el segundo término tiene esperanza cero y $b_1$ es insesgado. Su varianza depende de cuánto varían los errores (S5) y de que no estén correlacionados entre sí (S2).

¿Cuánto cambia $b_1$ de una muestra a otra?

Con S2 y S5, la varianza de una suma de términos no correlacionados es la suma de las varianzas: $\operatorname{Var}(b_1)=\sum k_i^2\sigma^2=\sigma^2/S_{xx}$. Análogamente se obtienen la varianza del intercepto y la covarianza entre ambos estimadores:

Estas fórmulas son, ante todo, una guía de diseño de investigación. La precisión de la pendiente mejora por tres vías: menos ruido ($\sigma$ pequeño: medir bien la respuesta, controlar factores), más datos ($S_{xx}$ crece con $n$) y más dispersión en $X$ (observar empresas con inversiones muy diferentes). Un estudio que sólo observa pymes con presupuestos casi iguales tendrá pendientes imprecisas por más casos que reúna. La covarianza negativa (cuando $\bar X>0$) dice que si una muestra sobreestima la pendiente tiende a subestimar el intercepto: la recta «pivota» alrededor del punto de medias, como se ve en la .

Como $\sigma^2$ es desconocida, se sustituye por el cuadrado medio del error, $s^2=\text{SCE}/(n-2)$, que es un estimador insesgado: $E(s^2)=\sigma^2$. Al reemplazar $\sigma$ por $s$ en se obtienen los errores estándar que imprime summary() y la matriz vcov() del laboratorio.

¿Qué pasa si se viola cada supuesto?

En la investigación en administración casi nunca se cumplen todos los supuestos a la perfección. Lo que distingue a un trabajo doctoral es saber qué consecuencia tiene cada violación y responder con la herramienta adecuada. La resume el mapa; los ejemplos 3 y 4 lo comprueban con simulación.

La lección que más cuesta aprender: la heterocedasticidad y la dependencia dañan la incertidumbre, no el centro; la endogeneidad daña el centro. Una pendiente sesgada por una variable omitida puede ser muy «significativa» y estar muy equivocada. La forma general del sesgo cuando se omite una variable $Z$ que también afecta a $Y$ con coeficiente $\beta_2$ es

de modo que el sesgo desaparece sólo si $Z$ no afecta a $Y$ ($\beta_2=0$) o si no está correlacionada con $X$. Por eso la regresión simple casi nunca basta para sostener una afirmación causal en una tesis: sirve para describir y para pronosticar, y como primer paso hacia el modelo múltiple del Cuaderno 2.

Gauss–Markov: por qué MCO y no otra regla

Imagina tres analistas con los mismos datos. La primera usa MCO. El segundo traza la recta entre la sucursal que menos invierte y la que más (el «estimador de extremos»). El tercero divide las sucursales en dos grupos y une sus medias (el estimador de Wald). Los tres métodos son lineales en las $Y$ y, bajo S1–S4, insesgados. ¿Cuál preferir? El teorema de Gauss–Markov responde: si además se cumplen S2 y S5, MCO tiene la menor varianza posible entre todos los estimadores lineales insesgados; en la jerga, es MELI (mejor estimador lineal insesgado; en inglés, BLUE). No hace falta normalidad. El resultado se remonta a y fue redescubierto por Markov a comienzos del siglo XX .

Dos matices que los evaluadores aprecian. Primero, «lineal» significa lineal en las $Y_i$, no que la relación entre $X$ e $Y$ sea una recta. Segundo, «mejor» es una afirmación restringida: puede haber estimadores sesgados o no lineales con menor error cuadrático medio (por ejemplo, los estimadores robustos cuando hay atípicos). Y si falla la homocedasticidad, MCO sigue siendo insesgado pero deja de ser el más eficiente.

La distribución exacta bajo normalidad

Si además los errores son normales (S6), $b_1=\beta_1+\sum k_i\varepsilon_i$ es una combinación lineal de normales y, por tanto, normal. Al estandarizar con $s$ en lugar de $\sigma$ aparece la distribución $t$ de Student con $n-2$ grados de libertad, que es la base de las pruebas e intervalos de la siguiente estación. Con $n$ grande, aunque los errores no sean normales, el teorema central del límite garantiza que $b_1$ es aproximadamente normal .

Nota de campo: Gauss–Markov no dice que MCO sea bueno siempre. Dice que, si el modelo está bien planteado, ningún estimador lineal insesgado lo supera. Si el modelo omite una variable importante, MCO estima con mucha precisión… el número equivocado.

La lógica de una prueba: un juicio con presunción de inocencia

Una prueba de hipótesis funciona como un juicio. La hipótesis nula $H_0$ es la presunción de inocencia: «la publicidad no tiene relación lineal con las ventas», $\beta_1=0$. Los datos son la evidencia. Sólo si la evidencia es muy difícil de conciliar con la inocencia, el tribunal la descarta y acepta la hipótesis alternativa $H_1$. Observa la asimetría: no rechazar $H_0$ no demuestra la inocencia; sólo dice que la evidencia no alcanzó.

En la estación 12 viste que, bajo los supuestos S1–S6, la pendiente estandarizada sigue una distribución $t$ de Student con $n-2$ grados de libertad (). Si $H_0$ afirma que $\beta_1=\beta_1^{0}$, entonces el estadístico de prueba

mide a cuántos errores estándar está la estimación del valor que afirma la hipótesis nula. Con el caso guía y $\beta_1^0=0$: $T=2{,}6304/0{,}1560=16{,}86$. La pendiente está a casi 17 errores estándar del cero; si $\beta_1$ fuera cero, un resultado así sería prácticamente imposible. Ese «prácticamente imposible» se cuantifica con el valor $p$.

Tres formas de plantear la pregunta

La hipótesis no siempre es «el efecto es cero». En administración, las preguntas más interesantes suelen comparar la pendiente con un valor de referencia gerencial: ¿cada millón invertido en publicidad genera más de un millón en ventas ($\beta_1>1$)? ¿El aumento salarial por año de experiencia es el 250 000 COP que promete la política de compensación ($\beta_1=0{,}25$)? La reúne los tres casos.

Una prueba unilateral es legítima sólo si la dirección se fijó antes de mirar los datos, a partir de la teoría o de una decisión gerencial. Elegirla después para «ganar significancia» divide artificialmente el valor $p$ a la mitad.

¿Y el intercepto? La prueba de $H_0:\beta_0=\beta_0^0$ usa $T=(b_0-\beta_0^0)/\operatorname{EE}(b_0)$ con $\operatorname{EE}(b_0)=s\sqrt{1/n+\bar X^2/S_{xx}}$. Casi siempre carece de interés (¿ventas sin publicidad, fuera del rango observado?), con una excepción importante en gestión: en un modelo de costos ($Y$ = costo total, $X$ = unidades producidas), $\beta_0$ es el costo fijo y probar $\beta_0=0$ responde si la operación tiene costos fijos relevantes.

La prueba $F$ y la identidad $t^2=F$

La tabla ANOVA de la estación 11 descompone la variabilidad en una parte explicada por la regresión y otra residual. Su cociente de cuadrados medios es el estadístico $F$:

En la regresión simple la prueba $F$ y la prueba $t$ bilateral de $\beta_1=0$ son la misma prueba, porque $F=t^2$ () y $F_{1,\nu}$ es la distribución del cuadrado de una $t_\nu$. En el caso guía, $16{,}8609^2=284{,}29$, exactamente el F-statistic de summary(), con el mismo valor $p=2{,}78\times10^{-6}$. La distinción importará en el Cuaderno 2: con varias explicativas, $F$ evalúa todas a la vez y cada $t$ evalúa una.

El valor $p$: qué es y qué no es

El valor $p$ es la probabilidad, calculada suponiendo que $H_0$ y todos los supuestos del modelo son ciertos, de obtener un estadístico al menos tan extremo como el observado. La lo muestra para el ejemplo de satisfacción y desempeño: el área en las dos colas de la $t_5$ más allá de $\pm2{,}824$ es 0,0369.

En 2016 la American Statistical Association publicó por primera vez una declaración oficial sobre el uso de los valores $p$, motivada por su abuso generalizado en la ciencia . Sus seis principios, en nuestras palabras y con su traducción a la gestión, están en la .

Intervalos de confianza: la respuesta que de verdad importa

Una prueba responde «sí o no» a una pregunta; un intervalo de confianza responde «cuánto», que es lo que necesita un gerente. Invirtiendo :

Para el caso guía, $2{,}6304\pm2{,}4469\,(0{,}1560)=[2{,}249;\ 3{,}012]$: cada millón adicional en publicidad se asocia con entre 2,25 y 3,01 millones más en ventas esperadas. El «95 %» describe el procedimiento, no este intervalo concreto: si se repitiera el estudio muchas veces, el 95 % de los intervalos así construidos contendría a $\beta_1$ (lo comprobarás en la simulación y en la celda 3 del laboratorio). Además, el intervalo contiene exactamente los valores $\beta_1^0$ que una prueba bilateral al nivel $\alpha$ no rechazaría (): un IC resume infinitas pruebas a la vez.

Por último, recuerda que toda prueba puede equivocarse de dos maneras: rechazar una $H_0$ verdadera (error tipo I, con probabilidad $\alpha$) o no rechazar una $H_0$ falsa (error tipo II, con probabilidad $\beta$; la potencia es $1-\beta$). Con muestras pequeñas, como las 10 oficinas del ejemplo 5, la potencia es baja: «no significativo» puede significar simplemente «no hubo datos suficientes» .

Dos preguntas con la misma estimación puntual

Supón que la cadena planea dos decisiones. La dirección financiera quiere presupuestar las ventas de las 30 sucursales que el próximo año invertirán 10 millones cada una: le interesa la media $E(Y\mid X_0=10)$. La gerente regional va a abrir una sucursal en Palmira con esa misma inversión y quiere fijarle una meta de ventas: le interesa un valor individual $Y_0$. Ambas usan el mismo número, $\hat Y_0=b_0+b_1X_0=72{,}89$ millones, pero con incertidumbres muy diferentes:

• al estimar la media sólo nos equivocamos porque $b_0$ y $b_1$ vienen de una muestra;
• al predecir una sucursal concreta se suma, además, su propio error $\varepsilon_0$: el clima, la competencia local, el equipo que contrate. Ese error no desaparece aunque conozcamos la recta poblacional a la perfección.

La incertidumbre al estimar la media

Como la recta pasa por el punto de medias, $\hat Y_0=\bar Y+b_1(X_0-\bar X)$. Bajo los supuestos de Gauss–Markov, $\bar Y$ y $b_1$ no están correlacionados, así que las varianzas se suman (estación 12):

El primer término es la incertidumbre sobre la «altura» de la recta; el segundo, la incertidumbre sobre su inclinación, que pesa más cuanto más lejos de $\bar X$ se está, porque la recta «pivota» alrededor del punto de medias. Con $s$ en lugar de $\sigma$ y la distribución $t$, el intervalo de confianza para la respuesta media es

La incertidumbre al predecir un caso nuevo

El error de predicción de una observación nueva $Y_0=\beta_0+\beta_1X_0+\varepsilon_0$, independiente de la muestra, es $Y_0-\hat Y_0=\varepsilon_0-(\hat Y_0-E(Y_0))$. Los dos términos son independientes, así que

y el intervalo de predicción es

El «1» dentro de la raíz es la variabilidad individual. Es el término que domina en casi cualquier aplicación y el que no se reduce con más datos: aunque estudiaras mil sucursales, la nueva sucursal de Palmira seguiría teniendo su propio $\varepsilon_0$ con desviación típica $\sigma$. En el caso guía, en $X_0=10$, el factor de la media es $\sqrt{1/8+9/92}=0{,}4720$ y el de la predicción $\sqrt{1+1/8+9/92}=1{,}1058$: el intervalo de predicción es 2,34 veces más ancho.

De intervalos puntuales a bandas

Si calculas y para todos los valores de $X_0$ obtienes las dos bandas de la . Su forma lleva un mensaje de diseño: los pronósticos más precisos están cerca de la media de $X$. Una precaución técnica: cada punto de la banda tiene 95 % de confianza por separado. Si quieres un 95 % de confianza para toda la recta a la vez (por ejemplo, para comparar varias inversiones en un mismo informe), usa la banda simultánea de Working–Hotelling, que reemplaza $t_{1-\alpha/2;\,n-2}$ por $W=\sqrt{2F_{1-\alpha;\,2,\,n-2}}$ . En el caso guía, $W=3{,}207$ frente a $t=2{,}447$: la banda simultánea es un 31 % más ancha.

El peligro de extrapolar

Extrapolar es usar la recta para valores de $X$ fuera del rango observado. Las fórmulas advierten parte del riesgo: el término $(X_0-\bar X)^2/S_{xx}$ crece al alejarse. Pero el peligro mayor no está en las fórmulas: los intervalos suponen que el modelo lineal sigue siendo correcto fuera del rango, y los datos no pueden confirmarlo ni refutarlo. En gestión hay razones de sobra para esperar que la recta se quiebre:

• Saturación: la publicidad digital pierde efecto cuando el mercado local ya conoce la marca; la capacitación tiene rendimientos decrecientes.
• Restricciones de capacidad: una sucursal no vende más de lo que su inventario, su espacio o su personal permiten.
• Cambios de régimen: precios, regulación o competencia distintos a los del periodo observado.

El ejemplo 2 lo muestra con dos modelos que ajustan casi igual dentro del rango observado y que, al extrapolar a 20 millones de capacitación, difieren en casi 29 unidades por hora-hombre. El intervalo de predicción del modelo lineal no «sabe» nada de esa discrepancia: la incertidumbre de especificación no aparece en ningún intervalo.

Qué supuestos necesita cada intervalo

El IC de la media se apoya en la distribución de $b_0$ y $b_1$: con muestras grandes, el teorema central del límite lo hace razonablemente robusto a la no normalidad. El intervalo de predicción, en cambio, trata de capturar un error individual y depende directamente de su distribución: si los errores son asimétricos (tiempos de entrega, montos de compra) o su varianza cambia con $X$ (salarios), el intervalo de predicción será incorrecto aunque $n$ sea enorme. Por eso, antes de usar intervalos de predicción para fijar metas o bandas salariales, revisa la normalidad y la homocedasticidad con los residuos (estación 15) .

Nota de campo: un intervalo de predicción del 95 % no significa que el 95 % de las sucursales futuras caerá dentro de este intervalo concreto; es una garantía sobre el procedimiento, como en la estación 13.

Por qué diagnosticar: la inferencia descansa en supuestos

En la estación de supuestos viste que las pruebas $t$, la prueba $F$ y los intervalos de confianza son válidos si los errores $\varepsilon_i$ tienen media cero, varianza constante, no están correlacionados y, para muestras pequeñas, son normales (la sigla LINE). El problema es que los errores no se observan: sólo vemos los residuos $e_i=Y_i-\hat Y_i$. El diagnóstico es el arte de usar los residuos como huellas de los errores para responder tres preguntas de gestión muy concretas:

1. ¿La forma es la correcta? Si la relación entre publicidad y ventas se curva (rendimientos decrecientes), una recta subestima en el centro y sobreestima en los extremos.
2. ¿El ruido es parejo? Si las ventas de los asesores con más clientes varían mucho más, los errores estándar de summary() están mal calibrados.
3. ¿Una sola observación manda? Si quitar una sucursal cambia la pendiente de 2,63 a 0,86, tu conclusión depende de un dato, no de un patrón.

Seguimos la presentación de y de , capítulo 4, con las herramientas de R descritas por .

Los residuos no son los errores: el apalancamiento

Una sorpresa inicial: aunque los errores tengan todos la misma varianza $\sigma^2$, los residuos no. La recta MCO «se acerca» más a los puntos cuyo valor de $X$ está lejos de la media, porque esos puntos tiran de ella con más fuerza, como un niño sentado en el extremo de un balancín. Esa capacidad de tirar de la recta se mide con el apalancamiento $h_{ii}$, el $i$-ésimo elemento diagonal de la matriz sombrero (así llamada porque «le pone el sombrero» a $Y$):

En la regresión simple el apalancamiento tiene una fórmula transparente, que sólo depende de $X$ (no de $Y$):

Y la varianza de cada residuo resulta ser

Por eso un residuo «pequeño» en una sucursal de alto apalancamiento puede ser más preocupante que uno grande en el centro: la recta ya se acercó a ese punto, y aun así no lo alcanzó. Para comparar residuos en una escala común hay que dividirlos por su propia desviación típica; de ahí nacen los residuos estandarizados y estudentizados de la fase II.

Atípico, apalancado, influyente: tres palabras distintas

En las tesis se usan como sinónimos, y no lo son. La añade al caso guía (8 sucursales) tres sucursales hipotéticas, una cada vez:

• A · atípica en $Y$, en el centro ($X=7$, $Y=52$): residuo enorme, apalancamiento bajo ($h=0{,}111$). La pendiente no cambia (2,6304), sólo baja el intercepto y cae $R^2$ de 0,979 a 0,795.
• B · apalancada pero coherente ($X=20$, $Y=99{,}2$): $h=0{,}662$, pero cae justo sobre la prolongación de la recta. Su distancia de Cook es prácticamente 0: es un «buen» punto de palanca que incluso sube $R^2$ a 0,992.
• C · apalancada e incoherente ($X=20$, $Y=62$): $h=0{,}662$ y residuo grande a la vez. Es influyente: la pendiente se desploma de 2,63 a 0,86 y deja de ser significativa ($p=0{,}152$).

La lección: influencia = residuo × apalancamiento. Un punto necesita las dos cosas para cambiar la recta. Esa intuición es exactamente la que formaliza la distancia de .

Primero los gráficos, después las pruebas

El cuarteto de enseñó que cuatro nubes muy distintas pueden tener la misma recta y el mismo $R^2$. Por eso el diagnóstico empieza con gráficos, y R los trae listos: plot(modelo) dibuja cuatro paneles. La resume qué buscar en cada uno y qué prueba formal lo complementa.

Las pruebas formales y su lógica

Shapiro–Wilk. compararon los residuos ordenados con lo que se esperaría de una normal. Su estadístico $W$ está entre 0 y 1; valores cercanos a 1 son compatibles con la normalidad. $H_0$: los errores son normales.

Breusch–Pagan. Si la varianza depende de $X$, los residuos al cuadrado (que estiman la varianza punto a punto) deberían poder predecirse con $X$. proponen una regresión auxiliar de $e_i^2$ sobre $X_i$; en la versión studentizada de Koenker, que es la que usa por defecto lmtest::bptest() , el estadístico es $n$ veces el $R^2$ auxiliar. $H_0$: homocedasticidad. Es fácil de programar en base R, como verás en el laboratorio.

Durbin–Watson. Con datos ordenados en el tiempo (meses, trimestres), un error positivo suele ir seguido de otro positivo: hay inercia. miden esa inercia comparando residuos consecutivos. El estadístico $d$ vale cerca de 2 si no hay autocorrelación, se acerca a 0 con autocorrelación positiva y a 4 con autocorrelación negativa.

Una advertencia doctoral sobre las pruebas. Con $n=8$ las pruebas tienen muy poca potencia: «no rechazar» no demuestra que el supuesto se cumpla. Con $n=5000$ detectan desviaciones minúsculas sin consecuencia práctica. Por eso los evaluadores esperan que combines el gráfico con la prueba y discutas la magnitud del problema, no sólo el valor $p$ (véase la estación de inferencia y la declaración de la ASA).

«Lineal» se refiere a los parámetros, no a las variables

El modelo de regresión lineal exige que la media de la respuesta sea una combinación lineal de los parámetros $\beta_0$ y $\beta_1$. Nada impide que las variables entren transformadas. Los modelos

se estiman por MCO exactamente como en las estaciones anteriores: basta con construir las columnas $f(X_i)$ y $g(Y_i)$ y aplicar las fórmulas de siempre. Toda la maquinaria (errores estándar, pruebas $t$, intervalos, diagnóstico de residuos) funciona en la escala transformada. Lo que cambia es la interpretación de $\beta_1$ y la forma de volver a la escala original. Seguimos a , capítulos 2 y 6, y a , capítulo 5.

A estos modelos se les llama linealizables (o intrínsecamente lineales): una curva en el plano $(X,Y)$ que se vuelve recta en otro plano. La muestra las formas que más aparecen en administración y la las organiza.

De la derivada a la elasticidad

En gestión casi nunca interesa «cuántas unidades»; interesa «qué porcentaje». La elasticidad de $Y$ respecto a $X$ mide el cambio porcentual de $Y$ por cada 1 % de cambio en $X$. Como $d\ln Y=dY/Y$ es un cambio relativo, la elasticidad es una derivada entre logaritmos:

En el modelo log‑log, $\ln Y=\beta_0+\beta_1\ln X$, la derivada de $\ln Y$ respecto a $\ln X$ es la propia pendiente: la elasticidad es constante e igual a $\beta_1$. Por eso el log‑log es el modelo natural de la demanda: $\beta_1=-1{,}5$ significa que un alza del 1 % en el precio reduce la cantidad en 1,5 %, sea el precio alto o bajo. En el modelo lineal, en cambio, la elasticidad $\beta_1X/Y$ cambia en cada punto (en la estación 10 la calculaste en las medias).

Con un solo logaritmo se obtienen semielasticidades. En el log‑lin, $d\ln Y/dX=\beta_1$: una unidad más de $X$ cambia $Y$ en aproximadamente $100\beta_1$ %, y exactamente en $100(e^{\beta_1}-1)$ %. En el lin‑log, $dY/d\ln X=\beta_1$: un 1 % más de $X$ cambia $Y$ en $\beta_1/100$ unidades. El recíproco, por su parte, describe una respuesta que se acerca a un nivel límite $\beta_0$ con derivada $dY/dX=-\beta_1/X^2$, que se apaga rápidamente.

¿Cómo elegir la transformación?

Cuatro criterios, en este orden:

1. La teoría de gestión. Si la literatura habla de elasticidad precio, de tasa de crecimiento o de costos fijos repartidos, la forma funcional ya está sugerida (log‑log, log‑lin y recíproco, respectivamente).
2. El gráfico. Grafica $Y$ contra $X$, $\ln Y$ contra $X$, $Y$ contra $\ln X$ y $\ln Y$ contra $\ln X$: la transformación correcta es la que endereza la nube. El simulador de la fase V hace esto con un clic.
3. Los residuos. Una U en el gráfico de residuos contra ajustados (estación 15) delata curvatura; un embudo sugiere $\ln Y$, que convierte errores multiplicativos en aditivos y estabiliza la varianza.
4. Un ajuste comparable. El $R^2$ de $\ln Y$ y el de $Y$ no se comparan: miden proporciones de variabilidades distintas. Para comparar, calcula el $R^2$ en la escala original, $\operatorname{cor}(Y,\hat Y)^2$, con $\hat Y$ retransformado (celda 2 del laboratorio).

Para elegir la potencia de $Y$ de forma sistemática existe la familia de Box–Cox, que se estudia en el cuaderno de regresión múltiple .

Volver a la escala original: el sesgo de retransformación

Supón que estimaste $\widehat{\ln Y}=b_0+b_1X$. La tentación es pronosticar $\hat Y=e^{b_0+b_1X}$. Pero el exponencial de una media no es la media del exponencial: como $e^x$ es convexa, la desigualdad de Jensen garantiza $E(e^{\ln Y})>e^{E(\ln Y)}$. El pronóstico ingenuo estima la mediana condicional de $Y$, no su media, y subestima sistemáticamente los totales: un presupuesto de nómina construido sumando $e^{\hat\mu_i}$ se queda corto. La corrección depende del supuesto sobre los errores:

El factor de Duan (estimador smearing) no requiere normalidad y es el que recomiendan los textos aplicados . Cuando $s$ es pequeño (residuos de 2 % a 4 %, como en los ejemplos 1 y 2), la corrección es despreciable; con $s=0{,}38$, típico de salarios, ronda el 7,5 % (celda 3 del laboratorio).

La pregunta de gestión

En la estación de Pearson aprendiste que $r$ mide la fuerza de la relación lineal entre dos variables cuantitativas. Pero buena parte de los datos de una tesis en Administración no se parecen a esa situación ideal:

• Rankings. Un comité financiero y uno técnico ordenan del 1 al 8 los proyectos de innovación que compiten por presupuesto. ¿Coinciden sus criterios? Sólo hay posiciones, no magnitudes.
• Escalas ordinales. La satisfacción del cliente en escala de 1 a 5 dice que «4» es más que «3», pero no que la distancia entre 4 y 5 sea igual a la distancia entre 1 y 2. Muchos evaluadores objetan tratar esos números como métricos.
• Relaciones monótonas que no son rectas. En un centro de contacto, el tiempo medio de atención baja muy rápido en los primeros meses del asesor y después casi no cambia (curva de aprendizaje). La relación es perfectamente ordenada, pero curva.
• Atípicos y errores. Basta que alguien teclee 610 donde iba 61 para que el $r$ de Pearson cambie de signo. Un solo dato puede «secuestrar» el coeficiente.

En los cuatro casos la pregunta que interesa a la gerencia es más modesta y más robusta que «¿hay una recta?»: ¿cuando una variable sube, la otra tiende a subir (o a bajar)? Eso es una pregunta sobre el orden, y su herramienta natural son los rangos. La idea es de , un psicólogo que buscaba medir la asociación entre habilidades mentales sin depender de escalas arbitrarias.

Por qué Pearson se rompe

Recuerda que $r=S_{xy}/\sqrt{S_{xx}S_{yy}}$ se construye con desviaciones respecto de la media. Si una observación tiene una desviación enorme, por ejemplo $Y_3-\bar Y$ cien veces mayor que las demás, ese único término domina las tres sumas de productos y de cuadrados: el coeficiente pasa a describir a esa observación, no a la nube. Técnicamente se dice que la influencia de un dato sobre $r$ no está acotada: moviendo un solo punto lo bastante lejos puedes llevar $r$ a casi cualquier valor entre $-1$ y $1$.

Los rangos cortan ese mecanismo de raíz. Por lejos que esté un dato, su rango es, como mucho, $n$; nunca $n\cdot 100$. La transformación a rangos «comprime» las colas y deja intacto lo que importa para una relación monótona: quién está por encima de quién.

De los valores a los rangos

El rango $R(X_i)$ es la posición que ocupa $X_i$ cuando ordenas los $n$ valores de menor a mayor: el más pequeño recibe 1 y el más grande $n$. Si hay empates, cada valor empatado recibe el promedio de las posiciones que ocupan (rangos promedio o mid-ranks). Por ejemplo, si tres clientes responden «4» y ocupan las posiciones 6, 7 y 8, los tres reciben el rango $(6+7+8)/3=7$.

Una vez tienes los rangos de $X$ y los de $Y$, la definición de Spearman es casi decepcionante por lo sencilla: es el coeficiente de Pearson calculado sobre los rangos,

Cuando no hay empates, los rangos de cada variable son exactamente los números $1,2,\dots,n$ en algún orden. Eso permite simplificar . Usando $\sum k=n(n+1)/2$ y $\sum k^2=n(n+1)(2n+1)/6$, la suma de cuadrados de los rangos alrededor de su media es

idéntica para $X$ y para $Y$. Si llamas $d_i=R(X_i)-R(Y_i)$ a la diferencia de rangos de la observación $i$, al desarrollar $\sum d_i^2$ aparece $\sum d_i^2=2S_{RR}-2S_{R_xR_y}$. Despejando $S_{R_xR_y}$ y dividiendo entre $S_{RR}$ se obtiene la célebre fórmula corta:

La intuición es inmediata: si los dos órdenes coinciden, todas las $d_i$ valen cero y $r_s=1$; si un orden es el inverso del otro, $\sum d_i^2$ alcanza su máximo $n(n^2-1)/3$ y $r_s=-1$. Con empates la fórmula corta deja de ser exacta; entonces se usa con rangos promedio, que es lo que hace R.