Matemáticas Interactivas

Identidades Trigonométricas

Catálogo pedagógico

Fundamentales (Pitagóricas)

$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$
$1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$
$1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$

Suma y diferencia de ángulos

$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$
$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$
$\tan(\alpha \pm \beta) = \dfrac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}$

Ángulo doble y mitad

$\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$
$\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta = 1-2\sin^2\theta = 2\cos^2\theta-1$
$\tan(2\theta) = \dfrac{2\tan\theta}{1-\tan^2\theta}$
$\sin^2(\theta/2) = \dfrac{1-\cos\theta}{2},\quad \cos^2(\theta/2) = \dfrac{1+\cos\theta}{2}$

Producto a suma

$\sin\alpha\cos\beta = \tfrac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)]$
$\cos\alpha\cos\beta = \tfrac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)]$
$\sin\alpha\sin\beta = \tfrac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)]$

Leyes del triángulo

Ley de senos: $\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C}$
Ley de cosenos: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C$

🇬🇷 Alfabeto Griego

Constantes Fundamentales

Valores CODATA (NIST)

Magnitud	Símbolo	Valor	Unidad

Mostrando 0 constantes matemáticas.

Tabla de Derivadas Comunes

Básicas

$\dfrac{d}{dx}(c) = 0$
$\dfrac{d}{dx}(x^n) = n\,x^{n-1}$
$\dfrac{d}{dx}(e^x) = e^x$
$\dfrac{d}{dx}(a^x) = a^x \ln a$
$\dfrac{d}{dx}(\ln x) = \dfrac{1}{x}$
$\dfrac{d}{dx}(\log_a x) = \dfrac{1}{x\ln a}$

Trigonométricas

$\dfrac{d}{dx}(\sin x) = \cos x$
$\dfrac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x$
$\dfrac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x$
$\dfrac{d}{dx}(\cot x) = -\csc^2 x$
$\dfrac{d}{dx}(\sec x) = \sec x\tan x$
$\dfrac{d}{dx}(\csc x) = -\csc x\cot x$

Inversas trigonométricas

$\dfrac{d}{dx}(\arcsin x) = \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\dfrac{d}{dx}(\arccos x) = -\dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$\dfrac{d}{dx}(\arctan x) = \dfrac{1}{1+x^2}$

Reglas operativas

Suma: $(f+g)' = f'+g'$
Producto: $(fg)' = f'g + fg'$
Cociente: $\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f'g - fg'}{g^2}$
Cadena: $(f\circ g)'(x) = f'(g(x))\,g'(x)$
Inversa: $(f^{-1})'(y) = \dfrac{1}{f'(x)}$

Identidades Trigonométricas

Tabla de Integrales Comunes

Nota: se omite la constante de integración $+C$ en cada expresión.

Básicas

$\int x^n\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1}$ (si $n\ne -1$)
$\int \dfrac{1}{x}\,dx = \ln|x|$
$\int e^x\,dx = e^x$
$\int a^x\,dx = \dfrac{a^x}{\ln a}$
$\int \ln x\,dx = x\ln x - x$

Trigonométricas

$\int \sin x\,dx = -\cos x$
$\int \cos x\,dx = \sin x$
$\int \tan x\,dx = -\ln|\cos x|$
$\int \sec^2 x\,dx = \tan x$
$\int \sec x\,dx = \ln|\sec x + \tan x|$

Con raíces y racionales

$\int \dfrac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \arcsin x$
$\int \dfrac{dx}{1+x^2} = \arctan x$
$\int \dfrac{dx}{x\sqrt{x^2-1}} = \text{arcsec}\,|x|$
$\int \dfrac{dx}{\sqrt{x^2+a^2}} = \ln\bigl|x+\sqrt{x^2+a^2}\bigr|$

Técnicas

Sustitución: $\int f(g(x))g'(x)dx = \int f(u)\,du$
Por partes: $\int u\,dv = uv - \int v\,du$
Fracciones parciales (para cocientes de polinomios)
Sustitución trigonométrica ($\sqrt{a^2-x^2},\sqrt{a^2+x^2},\sqrt{x^2-a^2}$)

Series y Sucesiones Notables

Taylor / McLaurin

$e^x = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{x^n}{n!} = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \cdots$
$\sin x = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$
$\cos x = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$
$\ln(1+x) = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{(-1)^{n+1}x^n}{n}$, $|x|\le 1$
$\arctan x = \displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$, $|x|\le 1$

Series clásicas

Geométrica: $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} r^n = \dfrac{1}{1-r}$, $|r|<1$
Armónica: $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n}$ (diverge)
Basilea: $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^2} = \dfrac{\pi^2}{6}$
Leibniz: $1 - \tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{5} - \tfrac{1}{7} + \cdots = \dfrac{\pi}{4}$
Zeta de Riemann: $\zeta(s) = \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^s}$

Sumas finitas

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k = \dfrac{n(n+1)}{2}$
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
$\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left(\dfrac{n(n+1)}{2}\right)^2$
Geométrica finita: $\displaystyle\sum_{k=0}^{n} r^k = \dfrac{1-r^{n+1}}{1-r}$
Binomio de Newton: $(a+b)^n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$

Sucesiones famosas

Fibonacci: $F_{n} = F_{n-1} + F_{n-2}$ con $F_0=0,\,F_1=1$ → 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13…
Razón áurea: $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{F_{n+1}}{F_n} = \varphi$
Catalán: $C_n = \dfrac{1}{n+1}\binom{2n}{n}$ → 1, 1, 2, 5, 14, 42…
Primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29…
Triangulares: $T_n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ → 1, 3, 6, 10, 15…

Teoremas Fundamentales

Geometría

Pitágoras: En un triángulo rectángulo, $a^2 + b^2 = c^2$ (siendo $c$ la hipotenusa).
Thales: Si varias paralelas cortan a dos rectas secantes, los segmentos determinados son proporcionales.
Euclides (altura): $h^2 = m\cdot n$ (proyecciones sobre la hipotenusa).
Suma de ángulos interiores: En un polígono de $n$ lados: $(n-2)\cdot 180°$.
Ángulo inscrito: Mide la mitad del arco que abarca.

Cálculo

Fundamental del Cálculo: $\displaystyle\int_a^b f'(x)\,dx = f(b) - f(a)$.
Valor medio (integral): $\exists c\in[a,b]$ tal que $f(c) = \dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$.
Valor medio (derivada, Lagrange): $f'(c) = \dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$.
Rolle: Si $f(a)=f(b)$ entonces $\exists c$ con $f'(c)=0$.
Bolzano: Si $f$ es continua en $[a,b]$ y $f(a)\cdot f(b)<0$, $\exists c$ con $f(c)=0$.

Álgebra

Fundamental del Álgebra: Todo polinomio de grado $n\ge 1$ tiene exactamente $n$ raíces complejas (contadas con multiplicidad).
Resto: $p(x)$ dividido por $(x-a)$ deja resto $p(a)$.
Factor: $p(a)=0 \iff (x-a)\mid p(x)$.
Binomio de Newton: $(a+b)^n = \displaystyle\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$.

Otros clásicos

Teorema de Gauss (aritmética): Todo entero $>1$ se factoriza de forma única como producto de primos.
Infinitud de los primos (Euclides): Existen infinitos números primos.
Pequeño teorema de Fermat: Si $p$ es primo y $\gcd(a,p)=1$, entonces $a^{p-1}\equiv 1\pmod{p}$.
Incompletitud de Gödel: En todo sistema formal consistente suficientemente potente existen enunciados verdaderos no demostrables dentro del propio sistema.
Bayes: $P(A|B) = \dfrac{P(B|A)\,P(A)}{P(B)}$.

Manual de Fórmulas Matemáticas

📖 Manual de Usuario

Matemáticas Interactivas · Guía Completa v2.0

¡Bienvenido a Matemáticas Interactivas!

🎓 Matemáticas Interactivas es una plataforma educativa diseñada por el Msc. Néstor Fabio Montoya Palacios para los estudiantes del Colegio María Auxiliadora de Cartago, Valle del Cauca, Colombia. Desarrollada bajo los lineamientos del Ministerio de Educación Nacional para fortalecer las competencias científicas mediante el uso de TICs.

🎯 Objetivo

Facilitar el aprendizaje de las matemáticas mediante cuadernos interactivos, simuladores y herramientas científicas.

🌟 Filosofía

Aprender haciendo: cuadernos interactivos, laboratorios virtuales y evaluación inteligente con IA.

💡 Innovación

Integración de IA (Gemini), GeoGebra, aplicaciones HTML5, chatbot tutor y sistema de evaluación EvalLab.

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📂 Categorías: 12 temas de matemáticas organizados. Clic para expandir/contraer.
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🌙 Tema: Alterna entre modo claro y oscuro.

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Tipos de Recursos Disponibles

PDF

Guías y talleres

APP

Cuadernos interactivos

GeoGebra

Simulaciones

Simulador

Laboratorios virtuales

Web

Enlaces externos

EvalLab

Evaluación con IA

12 Temas de Matemáticas Cubiertos

1. Aritmética y Números

2. Álgebra

3. Trigonometría

4. Geometría

5. Cálculo Diferencial

6. Cálculo Integral

7. Estadística

8. Probabilidad y Combinatoria

9. Álgebra Lineal

10. Ecuaciones Diferenciales

11. Lógica y Conjuntos

12. Matemáticas Discretas

Tips y Accesibilidad

Consejos Pro

💡 Redimensionar: Arrastra el borde entre el menú y el visor.

🌙 Modo oscuro: Reduce fatiga visual en sesiones largas.

⛶ Pantalla completa: Mejor experiencia con simulaciones.

🔍 Buscar por tipo: Escribe "simulador" o "pdf" para filtrar.

Accesibilidad

📱 Responsive: Funciona en móviles, tablets y PC.

🔤 Zoom: Usa Ctrl + / Ctrl - para ajustar tamaño.

📖 MathJax: Las fórmulas se renderizan automáticamente.

💾 Offline: Muchos recursos funcionan sin internet.

Math Genius — Chatbot Tutor con IA

Tu tutor personal de matemáticas, impulsado por Google Gemini. Te acompaña un matemático animado que responde tus preguntas con explicaciones claras, demostraciones paso a paso y notación rigurosa.

🧑‍🔬 Científicos animados

Einstein, Curie, Hawking, Feynman, Newton... cada uno con personalidad única, frases célebres y mini-simulaciones SVG animadas en su badge.

✨ Funcionalidades

Preguntas de matemáticas con respuestas pedagógicas, generación de post-its desde el chat, exportar conversación a PDF, sugerencias contextuales y resúmenes automáticos.

¿Cómo usarlo? Haz clic en el badge circular del científico que aparece en la esquina inferior derecha de la pantalla.

Post-Its — Notas Interactivas

Sistema de notas arrastrables para tomar apuntes mientras estudias. Funcionan como las notas adhesivas de un escritorio real.

📌 Arrastrar y soltar — Mueve las notas libremente por la pantalla (funciona con mouse y pantalla táctil).
📐 Redimensionar — Arrastra la esquina inferior derecha para cambiar el tamaño.
🗂️ Dos modos — Grid ordenado (cuadrícula) o modo libre (ventanas flotantes).
➖ Minimizar/Maximizar — Oculta notas temporalmente sin perder el contenido.
💾 Persistencia — Tus notas se guardan automáticamente en el navegador (localStorage).

Grabación de Video

Graba cualquier simulación o contenido del visor como video para descargar y compartir. Ideal para evidencias de laboratorios virtuales.

🔴 Iniciar/Pausar/Detener — Controles intuitivos en la barra superior.
⏱️ Indicador de tiempo — Muestra la duración de la grabación en vivo.
💾 Descarga automática — El video se exporta en formato WebM al detener la grabación.

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Panel arrastrable que te permite compartir cualquier recurso de la plataforma por múltiples canales:

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Herramientas Matemáticas de Referencia

Tablas y catálogos de referencia disponibles desde el Centro de Referencias en la barra superior:

Alfabeto Griego
α β γ δ... Ω

Constantes
π, e, φ, γ, ζ(3)...

Identidades Trig.
sen², cos(2θ), leyes

Derivadas
tabla y reglas

Integrales
tabla y técnicas

Trigonometría
Valores notables

Series Notables
Taylor, Fibonacci…

Teoremas
Pitágoras, TFC, Gauss

Fórmulas
Manual matemático

Noticias Científicas y Hub de IA

6 fuentes de noticias

📰 El País Ciencia · 🌍 BBC Mundo · 🚀 NASA
🔬 Muy Interesante · 🦁 National Geographic · 🧬 ScienceDaily

9 asistentes de IA

💬 ChatGPT · 💎 Gemini · 🧡 Claude · 🐳 DeepSeek
🤖 Copilot · 📓 NotebookLM · 🧪 AI Studio · 🌬️ Mistral · 🤖 Qwen

¿Qué es EvalLab?

EvalLab es el Laboratorio de Evaluación Interactiva integrado en Matemáticas Interactivas. Funciona como un sistema tipo Google Classroom donde el docente crea actividades de álgebra, cálculo, geometría, estadística, etc., los estudiantes las resuelven y las calificaciones se registran automáticamente.

👨‍🎓

Estudiante

Resuelve actividades, sube trabajos, consulta notas

👨‍🏫

Docente

Crea actividades, califica con IA, gestiona grupos

👁️

Invitado

Explora la plataforma sin registrarse

Exámenes y Juegos (Nota Automática)

Los exámenes tipo ICFES, quizzes y juegos educativos se califican automáticamente. No interviene la IA ni el docente: el sistema calcula tu nota al instante.

1️⃣ El docente asigna la actividad desde EvalLab.

2️⃣ Tú la abres y resuelves las preguntas (con timer si aplica).

3️⃣ Al entregar, el sistema calcula: correctas ÷ total × 5.0

4️⃣ La nota se envía automáticamente a Firebase y aparece en tu historial.

Entregas de Trabajos

Para talleres, laboratorios e informes, puedes subir tus archivos directamente desde la plataforma. El docente los revisa y califica (manual o con ayuda de IA).

📎 Formatos aceptados: PDF, Word (.docx), imágenes (JPG, PNG, WebP), texto (.txt).
🖱️ Drag & drop: Arrastra los archivos al área de carga o haz clic para seleccionar.
🗜️ Compresión automática: Las imágenes (fotos de cuaderno) se comprimen automáticamente para ahorrar espacio.
📝 Comentario: Puedes agregar un mensaje al docente con tu entrega.
🔄 Estado: Verás si tu entrega está "Pendiente" o "Calificada".

Calificación con Inteligencia Artificial

El docente puede usar Gemini Flash 2.5 como asistente para evaluar trabajos con criterios pedagógicos. La IA sugiere una nota, pero el docente siempre tiene la última palabra.

📝 Preset: Examen

Procedimiento (30%), Respuesta (30%), Presentación (20%), Argumentación (20%)

📋 Preset: Taller

Contenido (25%), Procedimiento (25%), Gráficas (20%), Estética (15%), Pensamiento crítico (15%)

🔬 Preset: Laboratorio

Datos (20%), Análisis (25%), Conclusiones (20%), Procedimiento (20%), Informe (15%)

Consultar Mis Notas

Como estudiante, puedes ver tu historial de calificaciones al iniciar sesión en EvalLab. Las notas están clasificadas por nivel según la escala colombiana:

🏆 Superior (4.5 - 5.0) ⭐ Alto (3.5 - 4.4) 📘 Básico (3.0 - 3.4) 📕 Bajo (0.0 - 2.9)

Derechos de Autor y Propiedad Intelectual

La totalidad del contenido de la plataforma Matemáticas Interactivas y el sistema EvalLab —incluyendo pero no limitado a: código fuente, cuadernos interactivos, simulaciones, guías teóricas, diseño gráfico, interfaz de usuario, textos pedagógicos, algoritmos de evaluación y módulos de inteligencia artificial— constituye obra protegida por la legislación colombiana sobre derechos de autor (Ley 23 de 1982 y Decisión Andina 351 de 1993) y los tratados internacionales suscritos por la República de Colombia.

Licencia de Uso Educativo

✅ Se autoriza el uso de esta plataforma con fines exclusivamente educativos y sin ánimo de lucro por parte de estudiantes y docentes de las instituciones donde el autor ejerce su labor docente.
✅ Se permite la visualización, descarga e impresión de materiales (PDFs, guías) para uso personal académico.
❌ Queda expresamente prohibida la reproducción, distribución, modificación, ingeniería inversa, publicación o comercialización total o parcial del código fuente, las aplicaciones o cualquier otro componente de la plataforma sin autorización escrita del autor.
❌ No se permite la creación de obras derivadas, la extracción sistemática de contenido o el uso en plataformas comerciales de terceros.

Atribución de Herramientas de Terceros

Esta plataforma integra tecnologías de código abierto y servicios de terceros, cada uno sujeto a sus respectivas licencias: GeoGebra (licencia no comercial), Firebase (Google LLC), Gemini API (Google LLC), MathJax (Apache 2.0), Chart.js (MIT), TailwindCSS (MIT), Lucide Icons (ISC), Font Awesome (licencia Font Awesome Free), SweetAlert2 (MIT). El uso de estas herramientas no implica afiliación, patrocinio ni respaldo por parte de sus respectivos titulares.

Política de Privacidad y Tratamiento de Datos

Datos que se recopilan

📋 EvalLab: nombre del estudiante, grupo, institución, calificaciones, archivos de entregas y respuestas a actividades.
💾 Navegador local (localStorage): preferencias de tema (claro/oscuro), notas post-it, API key del chatbot (opcional) y científico seleccionado.

Datos que NO se recopilan

🚫 No se recopila ubicación geográfica, contactos, historial de navegación, datos biométricos ni información financiera.
🚫 No se utilizan cookies de rastreo ni herramientas de analítica de terceros con fines publicitarios.

Almacenamiento y seguridad

Los datos de EvalLab se almacenan en Google Firebase (Firestore), cuyos servidores cumplen con los estándares de seguridad SOC 1, SOC 2, SOC 3 e ISO 27001. El tratamiento de datos personales se realiza de conformidad con la Ley Estatutaria 1581 de 2012 (Ley de Protección de Datos Personales de Colombia) y el Decreto 1377 de 2013. Los titulares de los datos pueden ejercer sus derechos de acceso, rectificación, cancelación y oposición contactando al docente responsable.

Términos de Uso

1. Ámbito de aplicación. Estos términos rigen el uso de la plataforma Matemáticas Interactivas y EvalLab, disponibles en el dominio iemauxicartago.edu.co.

2. Uso autorizado. La plataforma está destinada exclusivamente a fines educativos dentro del marco de la enseñanza de las matemáticas y la física. El acceso es gratuito para estudiantes matriculados en las instituciones educativas donde el autor ejerce su labor docente.

3. Responsabilidad del usuario. El estudiante es responsable del contenido que sube a la plataforma (entregas, archivos). Queda prohibido el uso de la plataforma para transmitir material ofensivo, ilegal o que vulnere derechos de terceros.

4. Calificaciones e IA. Las calificaciones asistidas por inteligencia artificial (Gemini) constituyen una sugerencia. El docente conserva la potestad exclusiva de asignar la nota definitiva. Ninguna calificación generada por IA es vinculante sin la aprobación del docente.

5. Disponibilidad. La plataforma se ofrece "tal como está" (as is), sin garantías de disponibilidad ininterrumpida. El autor se reserva el derecho de modificar, suspender o descontinuar funcionalidades sin previo aviso.

6. Modificaciones. Estos términos pueden actualizarse periódicamente. La versión vigente estará siempre disponible en este manual.

Créditos y Contacto

Msc. Néstor Fabio Montoya Palacios

Magíster en Enseñanza de la Física · Docente de Matemáticas y Física

I.E. María Auxiliadora Univalle – Sede Cartago UTP – Pereira

Canal de YouTube Web Institucional Matemáticas Interactivas

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