Esta fórmula lleva el nombre de Carl Friedrich Gauss (1777-1855), el "Príncipe de los Matemáticos". Se conoce también como "Shoelace Formula" (Fórmula del Cordón) porque el patrón de multiplicaciones cruzadas se asemeja al patrón de atar un zapato.
El área del polígono es la suma algebraica de las áreas de trapecios formados por cada lado proyectado sobre el eje X. Los lados "superiores" (que van hacia la derecha) contribuyen área positiva, mientras que los "inferiores" (hacia la izquierda) restan área, dejando exactamente el área encerrada.
Si un polígono tiene vértices \(P_1(x_1,y_1), P_2(x_2,y_2), \ldots, P_n(x_n,y_n)\) ordenados consecutivamente, el área firmada es:
Donde los índices son cíclicos: \((x_{n+1}, y_{n+1}) = (x_1, y_1)\)
El área absoluta es: \(A = |A_s|\)
La fórmula se puede expresar elegantemente como la suma de determinantes 2×2:
Triángulo con vértices: \(P_0(0,0)\), \(P_1(4,0)\), \(P_2(0,3)\)
| i | \(x_i \cdot y_{i+1}\) | \(x_{i+1} \cdot y_i\) |
|---|---|---|
| 0→1 | 0×0 = 0 | 4×0 = 0 |
| 1→2 | 4×3 = 12 | 0×0 = 0 |
| 2→0 | 0×0 = 0 | 0×3 = 0 |
| Σ | 12 | 0 |
Área = \(\frac{1}{2}|12 - 0| = \frac{1}{2} \times 12 = \) 6 u²
La fórmula NO funciona correctamente para polígonos auto-intersectantes (que se cruzan a sí mismos). En esos casos, las áreas de las regiones se suman y restan de forma impredecible.
🔍 Rueda del mouse: Zoom centrado en el cursor
➕➖ Botones +/-: En panel flotante inferior
✋ Modo Pan: Activa el botón ✋ y arrastra
🖱️ Botón central: Arrastra directamente
1. Acerca el mouse al eje X o eje Y
2. El cursor cambia a ↔️ o ↕️ y el eje se resalta
3. Haz clic y arrastra para estirar/encoger esa escala
El panel derecho muestra el cálculo paso a paso:
📋 Tabla Shoelace: Cada fila muestra un vértice y sus
productos cruzados
🔵 Azul (↘): Productos \(x_i \cdot y_{i+1}\) que
suman
🩷 Rosa (↗): Productos \(x_{i+1} \cdot y_i\) que
restan
🎯 Resultado: Área = ½|Σ Azul - Σ Rosa|
🔄 Orientación: CCW (antihorario) o CW (horario)
Abre el panel de Configuración (botón 🎨) para personalizar: